1. Какова продолжительность разгона вала трактора С-100, если под действием момента силы 520 Н·м он начал вращаться

Ледяная_Душа

6

Задача 1. Для решения данной задачи мы будем использовать формулу кинетической энергии:

\[КЭ = \dfrac{1}{2} I \omega^2,\]

где \(КЭ\) - кинетическая энергия, \(I\) - момент инерции вала, \(\omega\) - угловая скорость вращения.

Из условия задачи известна кинетическая энергия (\(КЭ = 75 \, \text{МДж}\)), а также момент инерции вала (\(I = 10 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\)). Наша задача - найти продолжительность разгона вала, то есть время, за которое вал достигнет заданной угловой скорости.

Для начала найдем угловую скорость \(\omega\). Рассмотрим формулы для произведения силы на момент силы (\(M = Fd\)) и для момента инерции (\(I = \dfrac{1}{2} m r^2\)), где \(M\) - момент силы, \(F\) - сила, \(d\) - расстояние от оси вращения до точки приложения силы, \(m\) - масса вращающегося тела, \(r\) - радиус тела.

Используя эти формулы, получим:

\[M = Fd = I \alpha,\]

где \(\alpha\) - угловое ускорение.

Подставим данную формулу в формулу кинетической энергии:

\[КЭ = \dfrac{1}{2} I \omega^2 = \dfrac{1}{2} \dfrac{M^2}{I}.\]

Теперь подставим известные значения:

\[75 \, \text{МДж} = \dfrac{1}{2} \dfrac{(520 \, \text{Н м})^2}{10 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}.\]

Решим данное уравнение:

\[\omega^2 = \dfrac{2 \cdot 75 \, \text{МДж} \cdot 10 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}{(520 \, \text{Н м})^2}.\]

\[ \omega^2 = 0,288 \, \text{с}^{-2}.\]

Теперь найдем угловую скорость \(\omega\):

\[ \omega = \sqrt{0,288} \, \text{с}^{-1}.\]

Наконец, найдем продолжительность разгона \(t\):

\[ t = \dfrac{\omega}{\alpha}.\]

Мы знаем, что равноускоренное движение определяется формулой \(\omega = \alpha t\). Подставим данное соотношение:

\[ t = \dfrac{\omega}{\omega/t} = \dfrac{\omega}{\omega/\alpha}.\]

Подставим известные значения:

\[ t = \dfrac{\sqrt{0,288}}{\sqrt{0,288}/\alpha}.\]

Используя формулу \(\alpha = \dfrac{M}{I}\):

\[ t = \dfrac{\sqrt{0,288}}{\sqrt{0,288}/\dfrac{520 \, \text{Н м}}{10 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2}}.\]

\[ t = 10,002 \, \text{с}.\]

Таким образом, продолжительность разгона вала трактора С-100 составляет 10,002 секунды.

Задача 2. Для решения данной задачи воспользуемся законами отражения ультразвука. Закон отражения гласит, что угол падения ультразвука на границу раздела равен углу отражения. Также известно, что отношение синуса угла падения к синусу угла отражения равно отношению скорости ультразвука в первой среде к скорости ультразвука во второй среде:

\[\dfrac{\sin(\theta_1)}{\sin(\theta_2)} = \dfrac{v_1}{v_2}.\]

В данной задаче первой средой является кость черепа, а второй - мозг. У нас есть плотность каждой среды (\(\rho_1 = 1.7 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3\) и \(\rho_2 = 1.05 \cdot 10^3 \, \text{кг/м}^3\)) и скорости ультразвука в каждой среде (\(v_1 = 3.66 \, \text{км/с}\) и \(v_2 = 1.52 \, \text{км/с}\)).

Наша задача - найти коэффициент отражения ультразвука, то есть отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей волны.

Воспользуемся формулой, связывающей коэффициент отражения \(R\) с отношением амплитуд отраженной \(A_r\) и падающей \(A_i\) волн:

\[R = \left(\dfrac{A_r}{A_i}\right)^2.\]

Теперь найдем углы падения и отражения. Так как у нас нет информации о значениях этих углов, мы не можем рассчитать значение коэффициента отражения. Однако, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии, который гласит, что энергия падающей волны равна сумме энергий отраженной и преломленной волн:

\[E_i = E_r + E_t.\]

С учетом амплитуд волн (\(A_i, A_r, A_t\)), коэффициентов отражения (\(R\)) и пропускания (\(T\)), а также плотностей и площадей поверхности отражения (\(\rho_1, \rho_2, A_1\)), мы можем записать следующее соотношение:

\[A_i^2 = A_r^2 + A_t^2.\]

Данное соотношение может быть переписано в следующем виде:

\[\dfrac{A_r^2}{A_i^2} + \dfrac{A_t^2}{A_i^2} = 1.\]

Подставим значение коэффициента отражения \(R\) в первую дробь и коэффициент пропускания \(T\) во вторую дробь:

\[R + T = 1.\]

Таким образом, коэффициент отражения ультразвука не может быть найден без дополнительной информации об углах падения и отражения.

Задача 3. Чтобы обеспечить ламинарное течение в артерии, необходимо сохранять определенную скорость кровотока. Для расчета объема протекающей крови, мы можем использовать уравнение Карно:

\[Q = Av,\]

где \(Q\) - объем протекающей жидкости, \(A\) - площадь поперечного сечения сосуда и \(v\) - скорость крови.

Нам дан внутренний диаметр артерии (\(d = 4 \, \text{мм}\)), откуда мы можем найти радиус сосуда (\(r = \dfrac{d}{2}\)). Формула для площади поперечного сечения круга:

\[A = \pi r^2.\]

Теперь нам необходимо определить условие для ламинарного течения. В ламинарном режиме течения вязкость жидкости играет важную роль. Существует безразмерное число - число Рейнольдса (\(Re\)), которое характеризует режим течения. Для ламинарного течения считается, что значение числа Рейнольдса должно быть меньше 2000.

Число Рейнольдса может быть рассчитано следующим образом:

\[Re = \dfrac{\rho v d}{\eta},\]

где \(\rho\) - плотность крови (\(1 \, \text{г/см}^3 = 10^3 \, \text{кг/м}^3\)), \(v\) - скорость крови, \(d\) - диаметр артерии и \(\eta\) - динамическая вязкость крови (\(\eta = 4 \cdot 10^{-3} \, \text{Па} \cdot \text{с}\)).

Чтобы обеспечить ламинарное течение в артерии, значение числа Рейнольдса должно быть меньше 2000. Рассчитаем значение числа Рейнольдса:

\[Re = \dfrac{\rho v d}{\eta} = \dfrac{(10^3 \, \text{кг/м}^3) v (4 \cdot 10^{-3} \, \text{м})}{4 \cdot 10^{-3} \, \text{Па} \cdot \text{с}}.\]

Упростим выражение:

\[10^3 v = 2000 \cdot 4 \cdot 10^{-3}.\]

\[v = \dfrac{2000 \cdot 4 \cdot 10^{-3}}{10^3} = 8 \, \text{м/с}.\]

Теперь, когда мы знаем скорость крови (\(v = 8 \, \text{м/с}\)), нам нужно рассчитать объем протекающей крови с использованием формулы:

\[Q = Av = \pi r^2 v.\]

Подставим известные значения:

\[Q = \pi (0.002 \, \text{м})^2 \cdot 8 \, \text{м/с}.\]

\[Q \approx 1.01 \cdot 10^{-5} \, \text{м}^3/\text{с}.\]

Таким образом, объем крови, протекающий через артерию с внутренним диаметром 4 мм, чтобы обеспечить ламинарное течение, составляет приблизительно \(1.01 \cdot 10^{-5}\) метров кубических в секунду.