1) Какова производная функции f(x)=(x^2-x)^2? 2) Какова производная функции f(x)=(2x-1)^-5? 3) Какова производная

Vinni

16

Конечно! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку.

1) Для нахождения производной функции \(f(x) = (x^2 - x)^2\) мы можем воспользоваться цепным правилом дифференцирования и правилом дифференцирования степенной функции. Давайте посмотрим на решение шаг за шагом.

Шаг 1: Возьмем первоначальное уравнение: \(f(x) = (x^2 - x)^2\).
Шаг 2: Применим цепное правило, поскольку функция представляет собой квадрат внутренней функции. Для этого нужно умножить производную внешней функции на производную внутренней функции.
Шаг 3: Найдем производные внешней и внутренней функций. Производная внешней функции равна \(2(x^2 - x)\), а производная внутренней функции равна \(2x - 1\).
Шаг 4: Перемножим эти две производные: \(f"(x) = 2(x^2 - x) \cdot (2x - 1)\).

Таким образом, производная функции \(f(x) = (x^2 - x)^2\) равна \(f"(x) = 2(x^2 - x) \cdot (2x - 1)\).

2) Рассмотрим функцию \(f(x) = (2x-1)^{-5}\) и найдем ее производную.

Шаг 1: Возьмем первоначальное уравнение: \(f(x) = (2x - 1)^{-5}\).
Шаг 2: Применим степенное правило дифференцирования. Для этого нужно умножить степень на производную основания функции.
Шаг 3: Найдем производную основания функции. Производная функции \(2x-1\) равна просто 2.
Шаг 4: Умножим степень на производную основания функции и получим: \(f"(x) = -5(2x-1)^{-6} \cdot 2\).

Таким образом, производная функции \(f(x) = (2x-1)^{-5}\) равна \(f"(x) = -10(2x-1)^{-6}\).

3) Давайте найдем производную функции \(f(x) = \sqrt{5x - x^2}\), где у нас есть уравнение под корнем.

Шаг 1: Возьмем первоначальное уравнение: \(f(x) = \sqrt{5x - x^2}\).
Шаг 2: Применим правило дифференцирования функции с корнем. Для этого нужно поделить производную функции под корнем на удвоенный модуль функции.
Шаг 3: Найдем производную функции под корнем. Производная функции \(5x - x^2\) равна \(5 - 2x\).
Шаг 4: Разделим полученную производную на удвоенный модуль функции и получим: \(f"(x) = \frac{{5-2x}}{{2\sqrt{5x - x^2}}}\).

Таким образом, производная функции \(f(x) = \sqrt{5x - x^2}\) равна \(f"(x) = \frac{{5-2x}}{{2\sqrt{5x - x^2}}}\).

4) Рассмотрим функцию \(f(x) = \sqrt{2x} + \sqrt{3x} + \frac{1}{{(2x - 1)\sqrt{2}}}\), где у нас есть выражение под корнем и дробь со знаменателем.

Шаг 1: Возьмем первоначальное уравнение: \(f(x) = \sqrt{2x} + \sqrt{3x} + \frac{1}{{(2x - 1)\sqrt{2}}}\).
Шаг 2: Применим правило дифференцирования функции с корнем и правило дифференцирования дробной функции. Для этого нужно сложить производные каждого из слагаемых.
Шаг 3: Найдем производные каждого слагаемого. Производная функции \(\sqrt{2x}\) равна \(\frac{1}{{2\sqrt{2x}}}\), производная функции \(\sqrt{3x}\) равна \(\frac{1}{{2\sqrt{3x}}}\), и производная дробной функции \(\frac{1}{{(2x - 1)\sqrt{2}}}\) равна \(-\frac{1}{{(2x - 1)^2\sqrt{2}}}\).
Шаг 4: Сложим все полученные производные слагаемых и получим: \(f"(x) = \frac{1}{{2\sqrt{2x}}} + \frac{1}{{2\sqrt{3x}}} - \frac{1}{{(2x - 1)^2\sqrt{2}}}\).

Таким образом, производная функции \(f(x) = \sqrt{2x} + \sqrt{3x} + \frac{1}{{(2x - 1)\sqrt{2}}}\) равна \(f"(x) = \frac{1}{{2\sqrt{2x}}} + \frac{1}{{2\sqrt{^3x}}} - \frac{1}{{(2x - 1)^2\sqrt{2}}}\).

Надеюсь, все понятно! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!