1. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если она проходит 70 км по течению за 3,5 часа, а путь от одной

Zvezdopad_Volshebnik

43

1. Первым делом нам необходимо найти скорость моторной лодки в стоячей воде. Для этого мы можем использовать формулу скорости:

\[ \text{{Скорость}} = \frac{{\text{{Расстояние}}}}{{\text{{Время}}}} \]

По условию нам известно, что лодка проходит 70 км по течению за 3,5 часа. Подставим эти значения в формулу:

\[ \text{{Скорость по течению}} = \frac{{70 \, \text{{км}}}}{{3,5 \, \text{{ч}}}} = 20 \, \text{{км/ч}} \]

Также нам известно, что путь от одной пристани до другой занимает 4 часа в одну сторону и 5 часов в обратную сторону. Обозначим собственную скорость лодки как \( v \) и скорость течения реки как \( c \). Теперь мы можем составить два уравнения:

\[ \text{{Расстояние в одну сторону}} = (\text{{Собственная скорость}} + \text{{Скорость течения}}) \cdot \text{{Время}} \]
\[ \text{{Расстояние в обратную сторону}} = (\text{{Собственная скорость}} - \text{{Скорость течения}}) \cdot \text{{Время}} \]

Мы также знаем, что расстояние в одну сторону составляет 70 км, и расстояние в обратную сторону составляет также 70 км. Подставим эти значения и время в уравнения:

\[ 70 = (v + c) \cdot 4 \]
\[ 70 = (v - c) \cdot 5 \]

Теперь у нас система из двух уравнений с двумя неизвестными, и мы можем решить её. Для этого выразим сначала скорость лодки через одно из уравнений. Возьмём, например, первое уравнение:

\[ v + c = \frac{{70}}{{4}} = 17,5 \]

Теперь мы можем выразить скорость течения \(\displaystyle c\), вычтя \(\displaystyle v\):

\[ c = 17,5 - v \]

Подставим это значение \(\displaystyle c\) во второе уравнение:

\[ 70 = (v - (17,5 - v)) \cdot 5 = ( 2v -17,5) \cdot 5 = 10 v - 87,5 \]

Решим это уравнение и найдем значение скорости моторной лодки в стоячей воде:

\[ 10v = 157,5\implies v = \frac{{157,5}}{{10}} = 15,75 \]

Ответ: Скорость моторной лодки в стоячей воде составляет 15,75 км/ч.

2. Для решения этой задачи также можно воспользоваться системой уравнений. Обозначим собственную скорость лодки как \( v \) и скорость течения как \( c \).

По условию известно, что лодка проходит 12 км по течению и обратно за 2,5 часа. Из этого можно составить уравнение:

\[ 12 = (v + c) \cdot 2,5 \]

Также известно, что лодка проходит 4 км по течению за 1 час 20 минут, а против течения - 8 км. Это можно записать в виде уравнений:

\[ 4 = (v + c) \cdot (1 + \frac{{20}}{{60}}) = (v + c) \cdot \frac{{4}}{{3}} \]
\[ 8 = (v - c) \cdot 1 \]

Теперь у нас есть система из трёх уравнений:

\[
\begin{cases}
12 = (v + c) \cdot 2,5 \\
4 = (v + c) \cdot \frac{4}{3} \\
8 = (v - c) \cdot 1
\end{cases}
\]

Решим эту систему методом подстановки. Из третьего уравнения выразим \(v - c\) и подставим его во второе уравнение:

\[ 8 = (v - c) \cdot 1 \implies v - c = 8 \implies v = 8 + c \]

Теперь подставим \(v\) в первые два уравнения:

\[ 12 = (8 + c + c) \cdot 2,5 \implies 12 = (8 + 2c) \cdot 2,5 \]

\[ 4 = (8 + c + c) \cdot \frac{4}{3} \implies 4 = (8 + 2c) \cdot \frac{4}{3} \]

Решим эти уравнения:

\[ 12 = (8 + 2c) \cdot 2,5 \implies 30 = 8 + 2c \implies 2c = 22 \implies c = 11 \]

\[ 4 = (8 + 2c) \cdot \frac{4}{3} \implies 12 = 8 + 2c \implies 2c = 4 \implies c = 2 \]

Теперь, найдя значение \(c\), мы можем найти значение \(v\) из уравнения \(v = 8 + c\) и получим \(v = 8 + 2 = 10\).

Ответ: Собственная скорость лодки равна 10 км/ч, а скорость течения реки - 2 км/ч.

3. Для решения этой задачи мы можем использовать алгебраический подход. Обозначим скорость теплохода по течению как \( v \) и скорость теплохода против течения как \( u \).

По условию нам известно, что сумма скоростей теплохода по течению и против течения составляет 29 км/ч. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[ v + u = 29 \]

Также нам необходимо найти скорость теплохода в стоячей воде. Здесь нам поможет следующая идея: если теплоход двигается по течению или против течения, то его скорость составит сумму скорости в стоячей воде и скорости течения. Поэтому мы можем записать ещё два уравнения:

\[ v = w + u \]
\[ u = w - v \]

Теперь мы можем составить систему из трёх уравнений:

\[
\begin{cases}
v + u = 29 \\
v = w + u \\
u = w - v
\end{cases}
\]

Решим данную систему уравнений. Сложим первое и второе уравнение:

\[ (v + u) + v = 29 + w + u \implies 2v = 29 + w \]

Аналогично, сложим первое и третье уравнение:

\[ (v + u) + u = 29 + w - v \implies 2u = 29 + w - v \]

Теперь, зная значения \( v + u \) и \( 2v \), мы можем упростить уравнение и выразить \( v \):

\[ 29 + w = 2v \implies v = \frac{{29 + w}}{{2}} \]

Теперь подставим эту формулу для \( v \) в уравнение \( u = w - v \):

\[ u = w - \frac{{29 + w}}{{2}} \]

Далее упростим уравнение:

\[ u = \frac{{2w - 29 - w}}{{2}} = \frac{{w - 29}}{{2}} \]

Теперь, подставив найденное значение \( u \) в первое уравнение, мы можем найти значение \( v \):

\[ v + \frac{{w - 29}}{{2}} = 29 \implies v = 29 - \frac{{w - 29}}{{2}} \]

Теперь у нас есть две формулы для \( v \) и \( u \), и мы можем найти значение скорости теплохода в стоячей воде, когда сумма его скоростей по течению и против течения составляет 29 км/ч:

\[ v = 29 - \frac{{w - 29}}{{2}} \]
\[ u = \frac{{w - 29}}{{2}} \]

Ответ: Скорость теплохода в стоячей воде составляет \( 29 - \frac{{w - 29}}{{2}} \) км/ч.