1) Какова скорость точки в момент времени, когда её ускорение равно 1 м/с², при движении материальной точки вдоль

Ледяная_Душа

53

Конечно! Давайте начнем с каждой задачи по очереди.

1) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для скорости \(v\), связанную с ускорением \(a\) и временем \(t\). Формула выглядит следующим образом:

\[v = u + at\]

где \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение и \(t\) - время.

У нас дано уравнение движения материальной точки \(x=(2-t+3t^3)\) и у нас есть ускорение \(a = 1 м/с^2\). Чтобы найти скорость точки в момент времени, когда ускорение равно 1 м/с², мы должны сначала найти значение времени \(t\), при котором ускорение равно 1 м/с², а затем использовать это значение времени для нахождения скорости точки.

Для нахождения значения времени \(t\) мы можем взять производную уравнения \(x\) по времени:

\[\frac{{dx}}{{dt}} = v\]

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(2 - t + 3t^3)\]

\[\frac{{dx}}{{dt}} = -1 + 9t^2\]

Учитывая, что ускорение равно второй производной по времени, мы получаем:

\[\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = a = 1\]

Теперь мы можем приравнять ускорение к 1 м/с²:

\[1 = -2 \cdot 1 + 18t\]

\[18t = 3\]

\[t = \frac{{3}}{{18}}\]

\[t = \frac{{1}}{{6}}\]

Теперь, когда у нас есть значение времени \(t = \frac{{1}}{{6}}\), мы можем найти скорость точки, подставив его в формулу для скорости:

\[v = u + at\]

Так как у нас нет информации о начальной скорости точки (\(u\)), предположим, что начальная скорость равна 0. Подставим значения в формулу:

\[v = 0 + 1 \cdot \frac{{1}}{{6}}\]

\[v = \frac{{1}}{{6}}\ м/с\]

Ответ: Скорость точки в момент времени, когда её ускорение равно 1 м/с², составляет \(\frac{{1}}{{6}}\) м/с.

2) Для определения, можно ли считать движение локомотива равнозамедленным, у нас есть информация о скорости (\(36\ км/ч\)) и времени (\(20\ с\)), а также известное расстояние (\(80\ м\)). Мы можем использовать уравнение равнозамедленного движения:

\[s = ut + \frac{1}{2}at^2\]

где \(s\) - расстояние, \(u\) - начальная скорость, \(t\) - время и \(a\) - ускорение.

В данной задаче мы хотим узнать, является ли движение равнозамедленным, то есть у нас нет информации об ускорении. Однако, если расстояние, которое прошел локомотив, можно рассчитать, используя начальную скорость и время, и оно совпадает с известным расстоянием, то это указывает на равнозамедленное движение.

Подставим значения в уравнение:

\[80\ м = (36\ км/ч \cdot \frac{1000}{3600}\ \frac{м}{с}) \cdot 20\ с + \frac{1}{2}a (20\ с)^2\]

Первое слагаемое справа - это расстояние, пройденное с постоянной скоростью, а второе слагаемое - это изменение расстояния из-за ускорения.

\[80\ м = 10\ м/с \cdot 20\ с + \frac{1}{2}a (20\ с)^2\]

\[80\ м = 200\ м + 200a\ с^2\]

После упрощения:

\[0\ м = 200a\ с^2\]

Так как уравнение имеет вид \(0 = 200a\ с^2\), то это означает, что ускорение \(a\) равно 0.

Ответ: Движение локомотива можно считать равнозамедленным, так как ускорение равно 0.

3) Для нахождения расстояния между двумя телами, одно из которых падает с высоты 180 м, а второе бросается вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с, нам понадобятся два уравнения движения: для тела, падающего вниз, и для тела, брошенного вверх.

Для тела, падающего вниз, мы можем использовать формулу свободного падения:

\[s = ut + \frac{1}{2}gt^2\]

где \(s\) - расстояние, \(u\) - начальная скорость, \(t\) - время и \(g\) - ускорение свободного падения.

Мы знаем, что расстояние, с которого падает первое тело, равно 180 м и у нас нет начальной скорости (\(u = 0\)). Подставим значения в уравнение:

\[180\ м = 0 + \frac{1}{2} \cdot 9.8\ м/с^2 \cdot t^2\]

\[360\ м = 9.8\ м/с^2 \cdot t^2\]

\[t^2 = \frac{360\ м}{9.8\ м/с^2}\]

\[t^2 = 36.735\ с^2\]

\[t = \sqrt{36.735\ с^2}\]

\[t \approx 6.06\ с\]

Теперь мы знаем, что первое тело достигнет земли за время около 6.06 с.

Для тела, брошенного вертикально вверх, мы также можем использовать формулу свободного падения, но с противоположным знаком для ускорения:

\[s = ut - \frac{1}{2}gt^2\]

Мы знаем, что начальная скорость второго тела равна 20 м/с и мы хотим найти расстояние, на которое оно поднимется. Подставим значения в уравнение:

\[s = 20\ м/с \cdot 6.06\ с - \frac{1}{2} \cdot 9.8\ м/с^2 \cdot (6.06\ с)^2\]

\[s \approx 282.44\ м\]

Ответ: Расстояние между первым и вторым телом будет около 282.44 метра (по вертикали).