1) Какова сумма корней уравнения 2y^2+15y-22=0? А произведение корней равно чему? 2) Чему равна сумма корней уравнения

Медвежонок

41

Давайте решим каждую задачу по порядку:

1) Уравнение 2y^2 + 15y - 22 = 0 является квадратным уравнением и может быть решено с использованием формулы квадратного трехчлена. Формула гласит:

\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

Где a, b и c - это коэффициенты из уравнения вида ax^2 + bx + c = 0. В данном случае, a = 2, b = 15 и c = -22.

Сначала найдем сумму корней уравнения. После подстановки значений в формулу, получаем:

\[ y_{1} = \frac{{-15 + \sqrt{{15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22)}}}}{{2 \cdot 2}} \]

\[ y_{2} = \frac{{-15 - \sqrt{{15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22)}}}}{{2 \cdot 2}} \]

После упрощения:

\[ y_{1} = \frac{{-15 + \sqrt{{469}}}}{{4}} \]

\[ y_{2} = \frac{{-15 - \sqrt{{469}}}}{{4}} \]

Сумма корней является суммой этих двух значений:

\[ y_{1} + y_{2} = \frac{{-15 + \sqrt{{469}}}}{{4}} + \frac{{-15 - \sqrt{{469}}}}{{4}} \]

\[ y_{1} + y_{2} = \frac{{-30}}{{4}} = -\frac{15}{2} \]

Теперь найдем произведение корней уравнения. Произведение корней равно произведению этих двух значений:

\[ y_{1} \cdot y_{2} = \left(\frac{{-15 + \sqrt{{469}}}}{{4}}\right) \cdot \left(\frac{{-15 - \sqrt{{469}}}}{{4}}\right) \]

\[ y_{1} \cdot y_{2} = \frac{{-15^2 - \sqrt{{469}}^2}}{{4^2}} \]

\[ y_{1} \cdot y_{2} = \frac{{-225 - 469}}{{16}} \]

\[ y_{1} \cdot y_{2} = \frac{{-694}}{{16}} = -\frac{347}{8} \]

Итак, сумма корней уравнения равна -\frac{15}{2}, а произведение корней равно -\frac{347}{8}.

2) Уравнение x^2 + 13x = 0 может быть решено путем факторизации. Заметим, что оба члена этого уравнения содержат общий множитель x, поэтому мы можем вынести его за скобки:

x(x + 13) = 0

Теперь мы можем установить, что x = 0 или x + 13 = 0. Решая эти уравнения, мы получаем два корня:

x_1 = 0

x_2 = -13

Сумма корней равна:

x_1 + x_2 = 0 + (-13) = -13

Произведение корней равно:

x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot (-13) = 0

Итак, сумма корней уравнения равна -13, а произведение корней равно 0.

3) Уравнение z^2 - 78z - 47 = 0 также является квадратным уравнением. Решим его с использованием формулы квадратного трехчлена:

z = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}

Где a, b и c - это коэффициенты из уравнения вида ax^2 + bx + c = 0. В данном случае, a = 1, b = -78 и c = -47.

Подставляя значения в формулу, получаем:

z_{1} = \frac{{-(-78) + \sqrt{{(-78)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-47)}}}}{{2 \cdot 1}}

z_{2} = \frac{{-(-78) - \sqrt{{(-78)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-47)}}}}{{2 \cdot 1}}

После упрощения:

z_{1} = \frac{{78 + \sqrt{{6084 + 188}}}}{{2}}

z_{2} = \frac{{78 - \sqrt{{6084 + 188}}}}{{2}}

Сумма корней является суммой этих двух значений:

z_{1} + z_{2} = \frac{{78 + \sqrt{{6272}}}}{{2}} + \frac{{78 - \sqrt{{6272}}}}{{2}}

z_{1} + z_{2} = \frac{{78 + 4\sqrt{{392}}}}{{2}} + \frac{{78 - 4\sqrt{{392}}}}{{2}}

z_{1} + z_{2} = 78 + 2\sqrt{{392}} + 78 - 2\sqrt{{392}}

z_{1} + z_{2} = 156

Теперь найдем произведение корней уравнения. Произведение корней равно:

z_{1} \cdot z_{2} = \left(\frac{{78 + \sqrt{{6272}}}}{{2}}\right) \cdot \left(\frac{{78 - \sqrt{{6272}}}}{{2}}\right)

z_{1} \cdot z_{2} = \frac{{-6564}}{{4}}

z_{1} \cdot z_{2} = -1641

Таким образом, сумма корней уравнения равна 156, а произведение корней равно -1641.

4) Уравнение t^2 - 35 = 0 является квадратным уравнением. Чтобы решить его, добавим 35 к обеим сторонам уравнения:

t^2 = 35

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

t = \pm \sqrt{{35}}

Это означает, что уравнение имеет два корня: t = \sqrt{{35}} и t = -\sqrt{{35}}.

Сумма корней равна:

\sqrt{{35}} + (-\sqrt{{35}}) = 0

А произведение корней равно:

\sqrt{{35}} \cdot (-\sqrt{{35}}) = -35

Итак, сумма корней уравнения равна 0, а произведение корней равно -35.

5) Уравнение -m^2 + 42m - 30 = 0 является квадратным уравнением. Решим его с использованием формулы квадратного трехчлена:

m = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}

Где a, b и c - это коэффициенты из уравнения вида ax^2 + bx + c = 0. В данном случае, a = -1, b = 42 и c = -30.

Подставляя значения в формулу, получаем:

m_{1} = \frac{{-42 + \sqrt{{42^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-30)}}}}{{2 \cdot (-1)}}

m_{2} = \frac{{-42 - \sqrt{{42^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-30)}}}}{{2 \cdot (-1)}}

После упрощения:
\[ m_{1} = \frac{{-42 + \sqrt{{1804}}}}{{-2}} = \frac{{42 - \sqrt{{1804}}}}{{2}} = 21 - \sqrt{{451}} \]
\[ m_{2} = \frac{{-42 - \sqrt{{1804}}}}{{-2}} = \frac{{42 + \sqrt{{1804}}}}{{2}} = 21 + \sqrt{{451}} \]

Сумма корней является суммой этих двух значений:
\[ m_{1} + m_{2} = (21 - \sqrt{{451}}) + (21 + \sqrt{{451}}) = 42 \]

Теперь найдем произведение корней уравнения. Произведение корней равно:
\[ m_{1} \cdot m_{2} = (21 - \sqrt{{451}}) \cdot (21 + \sqrt{{451}}) = 441 - \sqrt{{451^2}} = 441 - 451 \]
\[ m_{1} \cdot m_{2} = -10 \]

Итак, сумма корней уравнения равна 42, а произведение корней равно -10.

6) Уравнение p^2 + 31p - 14 = 0 является квадратным уравнением. Решим его с использованием формулы квадратного трехчлена:

p = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}

Где a, b и c - это коэффициенты из уравнения вида ax^2 + bx + c = 0. В данном случае, a = 1, b = 31 и c = -14.

Подставляя значения в формулу, получаем:

p_{1} = \frac{{-31 + \sqrt{{31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}}}{{2 \cdot 1}}

p_{2} = \frac{{-31 - \sqrt{{31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}}}{{2 \cdot 1}}

\[ p_{1} = \frac{{-31 + \sqrt{{1245}}}}{{2}} \]
\[ p_{2} = \frac{{-31 - \sqrt{{1245}}}}{{2}} \]

Сумма корней является суммой этих двух значений:

\[ p_{1} + p_{2} = \frac{{-31 + \sqrt{{1245}}}}{{2}} + \frac{{-31 - \sqrt{{1245}}}}{{2}} \]

\[ p_{1} + p_{2} = \frac{{-62}}{{2}} = -31 \]

Теперь найдем произведение корней уравнения. Произведение корней равно:

\[ p_{1} \cdot p_{2} = \left(\frac{{-31 + \sqrt{{1245}}}}{{2}}\right) \cdot \left(\frac{{-31 - \sqrt{{1245}}}}{{2}}\right) \]

\[ p_{1} \cdot p_{2} = \frac{{-31^2 - \sqrt{{1245}}^2}}{{2^2}} \]

\[ p_{1} \cdot p_{2} = \frac{{-961 - 1245}}{{4}} \]

\[ p_{1} \cdot p_{2} = \frac{{-2206}}{{4}} = -551.5 \]

Итак, сумма корней уравнения равна -31, а произведение корней равно -551.5.

Я надеюсь, что ясно объяснил решение каждой из этих задач и предоставил достаточно деталей, чтобы понять шаги решения. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!