Какова вероятность того, что среди выбранных наугад 3 носков, как минимум одна пара будет образована?

Milaya_1967

60

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала определим общее количество возможных комбинаций 3 выбранных наугад носков из некоторого множества.

Предположим, у нас есть некоторое множество носков, и общее количество носков в этом множестве равно \(n\). Мы должны выбрать 3 носка наугад из этого множества.

Так как порядок выбора нас не интересует, то в данном случае мы используем формулу сочетаний из комбинаторики. Обозначим это значение буквой \(C\).

Формула сочетаний для выбора \(r\) элементов из множества из \(n\) элементов выглядит следующим образом:

\[C(n, r) = \frac{{n!}}{{r! \cdot (n-r)!}}\]

Где символ "!" обозначает факториал числа.

Таким образом, чтобы найти общее количество комбинаций 3 носков из множества из \(n\) носков, мы можем использовать формулу сочетаний:

\[C(n, 3) = \frac{{n!}}{{3! \cdot (n-3)!}}\]

Теперь, чтобы определить, какова вероятность того, что среди выбранных наугад 3 носков будет образована хотя бы одна пара, нам нужно узнать количество благоприятных исходов.

Предположим, что у нас есть хотя бы одна пара носков. Можно назвать выбранную нами пару "счастливой парой". Давайте посмотрим, сколько возможных счастливых пар может быть.

Возможные счастливые пары:
- 1 пара носков и 1 отдельный носок
- 2 пары носков

Для первого случая у нас есть \(C(n, 1)\) возможных способов выбрать пару из \(n\) носков, и \(C(n-2, 1)\) возможных способов выбрать отдельный носок из оставшихся \(n-2\) носков. Общее количество комбинаций для первого случая будет равно \(C(n, 1) \cdot C(n-2, 1)\).

Для второго случая у нас есть \(C(n, 2)\) способов выбрать 2 носка из \(n\) носков. Общее количество комбинаций для второго случая будет равно \(C(n, 2)\).

Теперь мы можем определить общее количество благоприятных исходов, когда у нас есть хотя бы одна пара носков:

Общее количество благоприятных исходов = \(C(n, 1) \cdot C(n-2, 1) + C(n, 2)\)

Исходя из этого, мы можем определить вероятность того, что среди выбранных наугад 3 носков будет образована хотя бы одна пара:

Вероятность = \(\dfrac{\text{общее количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможних комбинаций}}\)

Вероятность = \(\dfrac{C(n, 1) \cdot C(n-2, 1) + C(n, 2)}{C(n, 3)}\)

Таким образом, для данной задачи, чтобы определить вероятность того, что среди выбранных наугад 3 носков будет образована хотя бы одна пара, нам необходимо знать общее количество носков в множестве и использовать формулу для сочетаний.