1) Какова вероятность, что будет выпадать 6 очков ровно 2 раза при пяти бросках игрального кубика? 2) При пяти бросках

Sofya_980

21

Конечно! Давайте решим первую задачу.

1) Вероятность того, что при броске игрального кубика выпадет 6 очков, равна \(\frac{1}{6}\), так как у кубика всего 6 граней, а на одной из граней изображена 6.

Теперь нам нужно найти вероятность того, что 6 очков выпадет ровно 2 раза при пяти бросках кубика. Для этого мы можем использовать комбинаторику.

При пяти бросках кубика у нас есть возможность получить комбинации, в которых 6 выпадает 2 раза и остальные очки (не 6) выпадают 3 раза. Мы можем поставить эти две "6" в любые два из пяти бросков, а остальные три броска будут состоять из не-6 очков.

Формула для нахождения числа комбинаций выбора \(k\) объектов из \(n\) объектов равна:
\[{C}_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Поэтому мы можем использовать эту формулу, чтобы посчитать количество способов выбрать 2 броска игрального кубика из 5 бросков:

\[{C}_5^2 = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2!3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2 \cdot 1 \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4}}{{2 \cdot 1}} = 10\]

Теперь, чтобы найти вероятность возникновения таких комбинаций, мы должны умножить вероятность выпадения 6 очков два раза на вероятность выпадения не-6 очков три раза.

Вероятность выпадения 6 два раза и не-6 три раза можно выразить следующим образом:
\(\left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3\)

Подставим значения в формулу:
\(\text{Вероятность} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{125}{7776}\)

Итак, вероятность того, что будет выпадать 6 очков ровно 2 раза при пяти бросках игрального кубика составляет \(\frac{125}{7776}\).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Мы должны определить вероятность того, что 6 очков появится ровно 4 раза при пяти бросках игрального кубика.

Аналогично предыдущей задаче, мы можем использовать комбинаторику для определения числа способов выбора 4 бросков из 5 бросков, в которых выпадает 6 очков, и остальные броски (1, 2, 3, 4 или 5 очков) выпадают 1 раз.

\[{C}_5^4 = \frac{{5!}}{{4!(5-4)!}} = \frac{{5!}}{{4!1!}} = \frac{{5!}}{{4!}} = 5\]

Теперь мы можем выразить вероятность таких комбинаций, используя вероятность выпадения 6 очков 4 раза и не-6 очков 1 раз:
\(\left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1\)

Подставим значения в формулу:
\(\text{Вероятность} = \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{7776}\)

Таким образом, вероятность того, что 6 очков появится ровно 4 раза при пяти бросках игрального кубика, составляет \(\frac{5}{7776}\).