1. Какова вероятность того, что пять выбранных букв из случайного выбора слова БАМБУК можно использовать

Vechnaya_Zima

4

1. Для того чтобы решить задачу, нам необходимо определить общее количество возможных комбинаций из 5 выбранных букв и количество комбинаций, в которых можно составить слово "КУБ".

В слове "БАМБУК" имеется 6 букв. Для выбора 5 букв из этих 6 букв можно использовать формулу сочетаний:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где n - количество элементов (букв в данном случае), k - количество выбираемых элементов.

В данной задаче n = 6 и k = 5, поэтому количество всех возможных комбинаций будет:

\[\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!(6-5)!} = 6\]

Теперь мы должны определить количество комбинаций, в которых можно составить слово "КУБ". В слове "БАМБУК" имеется только одна буква "К", поэтому из выбранных 5 букв нужно выбрать только одну букву "К". Таким образом, количество комбинаций будет:

\[\binom{1}{1} = \frac{1!}{1!(1-1)!} = 1\]

Теперь мы можем найти вероятность, что 5 выбранных букв из слова "БАМБУК" можно использовать для составления слова "КУБ". Вероятность вычисляется по формуле:

\[P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Количество возможных исходов}}\]

Таким образом, вероятность составления слова "КУБ" будет:

\[P = \frac{\text{Количество комбинаций для слова "КУБ"}}{\text{Количество всех возможных комбинаций}} = \frac{1}{6}\]

Ответ: Вероятность того, что пять выбранных букв из случайного выбора слова "БАМБУК" можно использовать для составления слова "КУБ" равна \(\frac{1}{6}\).

2. Чтобы решить эту задачу, нужно определить общее количество возможных комбинаций для выбора председателя, заместителя председателя и казначея из 20 членов собрания клуба филателистов, а также количество комбинаций, в которых выберутся либо А, В и С соответственно.

Используя формулу сочетаний:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где n - общее количество элементов (членов клуба), k - количество выбираемых элементов, мы можем найти общее количество комбинаций.

В данной задаче n = 20 и k = 3, поэтому количество всех возможных комбинаций будет:

\[\binom{20}{3} = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3!17!} = 1140\]

Теперь мы должны определить количество комбинаций, в которых выберутся либо А, В и С соответственно. Поскольку каждая должность заполняется только одним человеком, количество комбинаций будет равно 1.

Теперь мы можем найти вероятность того, что выберутся А, В и С соответственно. Вероятность также вычисляется по формуле:

\[P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Количество возможных исходов}}\]

Таким образом, вероятность будет:

\[P = \frac{\text{Количество комбинаций, в которых выберутся А, В и С}}{\text{Количество всех возможных комбинаций}} = \frac{1}{1140}\]

Ответ: Вероятность того, что при случайном выборе председателем, заместителем председателя и казначеем из 20 членов клуба филателистов станут либо А, В и С соответственно, равна \(\frac{1}{1140}\).

3. а) Для решения этой задачи необходимо определить общее количество возможных распределений восьми юношей на две противоположные стороны прямоугольного стола, а также количество распределений, в которых братья находятся по разные стороны стола.

Сначала выберем по 4 места с каждой стороны стола для распределения юношей. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

где n - общее количество мест (8 мест в нашем случае), k - количество выбираемых мест.

В этой задаче n = 8 и k = 4, поэтому количество всех возможных комбинаций будет:

\[\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = 70\]

Затем нужно определить количество способов разделить братьев на две противоположные стороны. У нас есть два брата, поэтому количество комбинаций будет равно 2.

Теперь мы можем найти вероятность того, что братья будут находиться по разные стороны стола. Вероятность опять же вычисляется по формуле:

\[P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Количество возможных исходов}}\]

Таким образом, вероятность будет:

\[P = \frac{\text{Количество комбинаций, где братья находятся по разные стороны}}{\text{Количество всех возможных комбинаций}} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35}\]

Ответ: Вероятность того, что братья будут находиться по разные стороны прямоугольного стола, равна \(\frac{1}{35}\).