1) Каковы длины диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 4 см и 2 см, а угол между ними составляет 120°?

Yastrebok_8104

8

Решение:

1) Для вычисления длин диагоналей параллелограмма можно использовать теорему косинусов. В данной задаче, у нас есть две стороны и угол между ними. Пусть стороны параллелограмма обозначены как a и b, а угол между ними обозначим как α.

Используя формулу, можно записать:

\[d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)}\]
\[d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cdot \cos(\alpha)}\]

Подставим значения из условия:

\(a = 4 \, \text{см}\), \(b = 2 \, \text{см}\), \(\alpha = 120^\circ\)

\[d_1 = \sqrt{4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)}\]
\[d_2 = \sqrt{4^2 + 2^2 + 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ)}\]

Теперь, найдем косинус угла 120°:

\(\cos(120^\circ) = -0.5\)

Подставим это значение в исходные уравнения:

\[d_1 = \sqrt{16 + 4 + 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (-0.5)}\]
\[d_2 = \sqrt{16 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (-0.5)}\]

Вычислим значения:

\[d_1 = \sqrt{16 + 4 - 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, \text{см}\]
\[d_2 = \sqrt{16 + 4 + 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \, \text{см}\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны \(2\sqrt{3}\) см и \(2\sqrt{7}\) см соответственно.

2) Для решения этой задачи можно использовать теорему синусов. Пусть стороны треугольника обозначены как AB, BC и AC, а углы противоположные сторонам обозначены как A, B и C.

Теорема синусов гласит:

\[\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(A)}\]

Используя данную формулу, мы можем найти длину стороны AB:

\[\frac{AB}{\sin(45^\circ)} = \frac{33 \, \text{см}}{\sin(60^\circ)}\]

Выразим AB:

\[AB = \frac{33 \, \text{см} \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)}\]

Вычислим значения синусов:

\[\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]
\[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим значения:

\[AB = \frac{33 \, \text{см} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{33}{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{33}{\sqrt{6}}\]

Для удобства, можем умножить и поделить AB на \(\sqrt{6}\):

\[AB = \frac{33 \cdot \sqrt{6}}{6}\]

Таким образом, длина стороны AB равна \(\frac{33 \cdot \sqrt{6}}{6}\) см.

3) Воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c, а угол между сторонами a и b обозначен как α.

Тогда, мы можем записать:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha)\]

Подставим значения из условия:

\(a = 7 \, \text{см}\), \(b = 7 \, \text{см}\), \(\alpha = 60^\circ\)

\[c^2 = 7^2 + 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)\]

Вычислим косинус угла 60°:

\(\cos(60^\circ) = 0.5\)

Подставим это значение в уравнение:

\[c^2 = 49 + 49 - 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 0.5 = 98 - 49 = 49\]

Теперь найдем длину третьей стороны:

\[c = \sqrt{49} = 7 \, \text{см}\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна 7 см.

4) Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему косинусов.

Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c, а углы противоположные сторонам обозначены как A, B и C.

Теорема косинусов гласит:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)\]

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Для нашей задачи, нам даны стороны треугольника a = 5 см, b = 7 см и c = 8 см. Мы хотим найти косинус наименьшего угла и его градусную меру.

Мы можем использовать первое уравнение для нахождения косинуса наименьшего угла:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A)\]

Подставим значения:

\[5^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(A)\]

Выразим \(\cos(A)\):

\[\cos(A) = \frac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 8}\]

Вычислим значение:

\[\cos(A) = \frac{49 + 64 - 25}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14}\]

Теперь, чтобы найти градусную меру наименьшего угла, нам нужно найти обратный косинус от \(\frac{11}{14}\). Для этого, воспользуемся калькулятором.

Градусная мера наименьшего угла:
\(\arccos\bigg(\frac{11}{14}\bigg) \approx 33.557\)

Таким образом, косинус наименьшего угла треугольника составляет \(\frac{11}{14}\), а его градусная мера (округленная до сотых) примерно равна 33.56°.