1. Каковы координаты середины отрезка MN и какова его длина, если известно, что M имеет координаты (−4; 3) и N имеет

Vladislav

29

от точек A (−2; 5) и B (4; 5).

1. Чтобы найти координаты середины отрезка MN, мы должны взять среднее арифметическое координат точек M и N. Первая координата середины будет равна среднему арифметическому значений первых координат M и N, а вторая координата - среднему арифметическому значений вторых координат M и N.

Первая координата середины отрезка MN будет равна:
\[
\left(\frac{{-4 + 6}}{2}\right) = 1
\]

Вторая координата середины отрезка MN будет равна:
\[
\left(\frac{{3 + (-5)}}{2}\right) = -1
\]

Таким образом, координаты середины отрезка MN будут (1; -1).

Длина отрезка MN может быть найдена по формуле длины отрезка на плоскости:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

где \(d\) - длина отрезка, \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) - координаты точек M и N соответственно.

Подставляя значения получим:
\[
d = \sqrt{{(6 - (-4))^2 + ((-5) - 3)^2}} = \sqrt{{10^2 + (-8)^2}} = \sqrt{{100 + 64}} = \sqrt{{164}}
\]

Таким образом, длина отрезка MN равна \(\sqrt{{164}}\).

2. Чтобы составить уравнение окружности, проходящей через точку N и имеющей центр в точке F, мы можем использовать уравнение окружности в виде \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Используя точку F(3, -2) в качестве центра и точку N(5, -9) на окружности, получаем:
\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\)

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку N(5, -9) и имеющей центр в точке F(3, -2), будет \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\).

3. Чтобы найти координаты вершины C параллелограмма ABCD, мы можем использовать свойство параллелограмма, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны друг другу.

Если мы знаем координаты вершин A и B, а также вершины D, мы можем найти координаты вершины C, используя следующие формулы:

Координата x вершины C будет равна сумме координат вершины D по оси x и разности координат вершин A и B по оси x:
\[
x_C = x_D + (x_A - x_B)
\]

Координата y вершины C будет равна сумме координат вершины D по оси y и разности координат вершин A и B по оси y:
\[
y_C = y_D + (y_A - y_B)
\]

Подставляя значения, получим:
\[
x_C = 8 + ((-3) - (-1)) = 8 + (-2) = 6
\]
\[
y_C = 1 + (3 - 4) = 1 + (-1) = 0
\]

Таким образом, координаты вершины C параллелограмма ABCD будут (6; 0).

4. Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки D(3, -4) и B(5, 8), мы можем использовать формулу для уравнения прямой вида \(y = kx + b\), где \(k\) - коэффициент наклона прямой, \(b\) - свободный член.

Для того чтобы найти коэффициент наклона \(k\), мы можем использовать следующую формулу:
\[
k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}
\]

Подставляя значения, получаем:
\[
k = \frac{{8 - (-4)}}{{5 - 3}} = \frac{{12}}{{2}} = 6
\]

Теперь, чтобы найти свободный член \(b\), мы можем выбрать одну из точек и подставить ее значения в уравнение прямой. Выберем, например, точку D(3, -4):
\[
-4 = 6 \cdot 3 + b
\]
\[
-4 = 18 + b
\]
\[
b = -4 - 18
\]
\[
b = -22
\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки D(3, -4) и B(5, 8), будет \(y = 6x - 22\).

5. Чтобы найти координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и находится на одинаковом расстоянии от точек A(-2, 5) и B(4, 5), мы можем использовать свойство симметрии относительно оси абсцисс.

Так как точка находится на одинаковом расстоянии от точек A и B, то координаты y этой точки будут равны среднему арифметическому координат y точек A и B. Так как эта точка лежит на оси абсцисс, то ее координата y будет равна 0.

Таким образом, координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и находится на одинаковом расстоянии от точек A(-2, 5) и B(4, 5), будут (1, 0).