Докажите, что для любого натурального значения n, выражение 49^n-25^n делится на 24, 6^2n-2^2n делится на

Luka

44

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Докажем, что для любого натурального значения n выражение \(49^n - 25^n\) делится на 24.

Для доказательства этого факта воспользуемся методом математической индукции. Для начала докажем, что утверждение верно для \(n = 1\):

Подставим \(n = 1\) в выражение: \(49^1 - 25^1 = 49 - 25 = 24\). Очевидно, что 24 делится на 24.

Теперь предположим, что утверждение верно для \(n = k\), где \(k\) - некоторое натуральное число. Докажем, что оно верно и для \(n = k + 1\):

\[
\begin{align*}
49^{k+1} - 25^{k+1} &= 49 \cdot 49^k - 25 \cdot 25^k\\
&= 49 \cdot 49^k - 25 \cdot 49^k + 25 \cdot 49^k - 25 \cdot 25^k\\
&= 49^k \cdot (49 - 25) + 25^k \cdot (25(24 - 1))\\
&= 24 \cdot 49^k + 24 \cdot 25^k\\
&= 24 \cdot (49^k + 25^k)
\end{align*}
\]

Мы видим, что \(49^{k+1} - 25^{k+1}\) является произведением 24 и числа \(49^k + 25^k\). Так как мы предположили, что \(49^k + 25^k\) делится на 24, можно заключить, что и \(49^{k+1} - 25^{k+1}\) делится на 24.

Таким образом, выполнив доказательство базового шага и шага индукции, мы можем утверждать, что \(49^n - 25^n\) делится на 24 для любого натурального значения n.

2. Докажем, что для любого натурального значения n выражение \(6^{2n} - 2^{2n}\) делится на 32.

Также воспользуемся методом математической индукции для доказательства этого факта. Для начала проверим, что утверждение верно для \(n = 1\):

Подставим \(n = 1\) в выражение: \(6^{2\cdot 1} - 2^{2\cdot 1} = 36 - 4 = 32\). Очевидно, что 32 делится на 32.

Предположим теперь, что утверждение верно для \(n = k\), где \(k\) - некоторое натуральное число. Докажем, что оно верно и для \(n = k + 1\):

\[
\begin{align*}
6^{2(k+1)} - 2^{2(k+1)} &= 6^2 \cdot 6^{2k} - 2^2 \cdot 2^{2k}\\
&= 36 \cdot 6^{2k} - 4 \cdot 2^{2k}\\
&= 32 \cdot 6^{2k} + 4 \cdot (9 \cdot 6^{2k} - 2^{2k})\\
&= 32 \cdot 6^{2k} + 4 \cdot (9 \cdot 6^{2k} - 4^{k+1})
\end{align*}
\]

Мы видим, что \(6^{2(k+1)} - 2^{2(k+1)}\) является произведением 32 и числа \(6^{2k} + 4 \cdot (9 \cdot 6^{2k} - 4^{k+1})\). Так как мы предположили, что \(6^{2k} + 4 \cdot (9 \cdot 6^{2k} - 4^{k+1})\) делится на 32, можно заключить, что и \(6^{2(k+1)} - 2^{2(k+1)}\) делится на 32.

Таким образом, выполнив доказательство базового шага и шага индукции, мы можем утверждать, что \(6^{2n} - 2^{2n}\) делится на 32 для любого натурального значения n.

3. Докажем, что для любого натурального значения n выражение \(13^n + 3^n + 2\) кратно 18.

Чтобы доказать кратность выражения 18, мы должны показать, что оно делится на 18 без остатка. Воспользуемся методом математической индукции.

Для начала проверим, что утверждение верно для \(n = 1\):

Подставим \(n = 1\) в выражение: \(13^1 + 3^1 + 2 = 13 + 3 + 2 = 18\). Очевидно, что 18 делится на 18.

Предположим теперь, что утверждение верно для \(n = k\), где \(k\) - некоторое натуральное число. Докажем, что оно верно и для \(n = k + 1\):

\[
\begin{align*}
13^{k+1} + 3^{k+1} + 2 &= 13 \cdot 13^k + 3 \cdot 3^k + 2\\
&= 13 \cdot (13^k + 3^k) + 3^k + 2\\
&= 13 \cdot (13^k + 3^k) + 18^k\\
&= 18^k + 13 \cdot (13^k + 3^k)
\end{align*}
\]

Мы видим, что \(13^{k+1} + 3^{k+1} + 2\) является суммой \(18^k\) и произведения 13 и числа \(13^k + 3^k\). Так как мы предположили, что \(13^k + 3^k\) делится на 18, а \(18^k\) очевидно делится на 18, можно заключить, что и \(13^{k+1} + 3^{k+1} + 2\) делится на 18.

Таким образом, выполнив доказательство базового шага и шага индукции, мы можем утверждать, что выражение \(13^n + 3^n + 2\) кратно 18 для любого натурального значения n.

Надеюсь, эти подробные объяснения помогли вам понять задачи лучше.