1. Каковы площадь полной поверхности и объем тела, полученного в результате вращения прямоугольника со сторонами 4

Мышка

57

Задача 1. Для начала определим, как выглядит тело, получаемое в результате вращения прямоугольника. Поскольку прямоугольник вращается вокруг оси, параллельной более длинной стороне, то полученное тело будет иметь форму цилиндра.

Чтобы найти площадь полной поверхности этого тела, нужно найти площадь боковой поверхности и добавить к ней площадь двух оснований. Формула для площади боковой поверхности цилиндра определяется как произведение окружности (периметра основания) на высоту цилиндра.

Поскольку прямоугольник имеет стороны 4 см и 8 см, то окружность будет иметь длину, равную периметру прямоугольника. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \(P = 2(a + b)\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.
В нашем случае: \(P = 2(4 + 8) = 2 \cdot 12 = 24\) см.

Теперь рассчитаем площадь оснований цилиндра. Основания имеют форму прямоугольников со сторонами, равными сторонам прямоугольника, вокруг которого он вращается. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \(S = a \cdot b\), где \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника.
В нашем случае: \(S = 4 \cdot 8 = 32\) см².

Теперь объединим все полученные значения. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению периметра основания на высоту цилиндра, т.е. \(24 \cdot h\).
Обозначим площадь полной поверхности как \(S_{\text{полная}}\), площадь боковой поверхности как \(S_{\text{боковая}}\), и площадь оснований как \(S_{\text{основания}}\).

Теперь можем записать уравнение:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{боковая}} + S_{\text{основания}}\]
\[S_{\text{полная}} = 24h + 2 \cdot 32\]

Чтобы найти объем тела, полученного при вращении прямоугольника, нужно умножить площадь основания на высоту цилиндра. В нашем случае площадь основания равна \(32\) см² (как мы уже рассчитали), а высоту цилиндра обозначим \(H\).

Тогда объем цилиндра можно выразить формулой:
\[V = S_{\text{основания}} \cdot H\]
\[V = 32H\]

Таким образом, мы рассчитали площадь полной поверхности тела и его объем.

Задача 2. В этой задаче мы вращаем прямоугольник вокруг одного из его катетов. Результатом вращения будет тело, имеющее форму вращения, похожую на полуцилиндр.

Площадь полной поверхности такого тела можно найти, сложив площадь боковой поверхности и площадь двух оснований. Площадь основания будет равна площади прямоугольного треугольника со сторонами, равными катету и гипотенузе прямоугольника.

Таким образом, для начала найдем площадь основания. По теореме Пифагора известно, что \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза прямоугольника.
В нашем случае известны \(a = 4\) см и \(c = 5\) см. Можем найти \(b\) с использованием этой формулы:
\[4^2 + b^2 = 5^2\]
\[16 + b^2 = 25\]
\[b^2 = 25 - 16\]
\[b^2 = 9\]
\[b = 3\] (так как \(b\) не может быть отрицательным, то берем положительный корень)

Теперь можем рассчитать площадь основания:
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\] см²

Далее, найдем площадь боковой поверхности, которая теперь будет представлять собой полукруг. Формула для площади боковой поверхности полукруга с радиусом \(r\) равна \(\frac{\pi}{2} \cdot r^2\). В нашем случае радиусом будет длина катета, т.е. \(4\) см.

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
\[S_{\text{боковая}} = \frac{\pi}{2} \cdot 4^2 = 8\pi\] см²

Теперь сложим площадь боковой поверхности и площадь основания, чтобы найти площадь полной поверхности:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{боковая}} + S_{\text{основания}}\]
\[S_{\text{полная}} = 8\pi + 6\] см²

Чтобы найти объем тела, нужно умножить площадь основания на высоту цилиндра, т.е. \(6\) см.
\[V = S_{\text{основания}} \cdot H\]
\[V = 6 \cdot 4 = 24\] см³

Таким образом, мы рассчитали площадь полной поверхности и объем тела, полученного в результате вращения прямоугольника.