1) Покажите, что если DE = хАВ+уАС, то пирамида DE параллельна плоскости ABC, в которой находится треугольник

Летающая_Жирафа_5667

32

Давайте начнем с задачи номер 1.

1) Предположим, что у нас есть пирамида DE, в которой DE равно х умножить на ВА + у умножить на СА, где В и С - это точки на плоскости ABC, а D и E - это точки внутри пирамиды. Нам нужно показать, что эта пирамида параллельна плоскости ABC.

Для начала рассмотрим треугольник ABC на плоскости. Обозначим векторы AB, AC и BC как \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BC}\) соответственно. Поскольку D и E находятся внутри пирамиды, мы можем представить векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AE}\) также в терминах \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Рассмотрим векторное уравнение:
\(\overrightarrow{DE} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}\)

Мы можем представить вектор \(\overrightarrow{DE}\) в терминах \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AE}\):
\(\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD}\)

Теперь подставим значения \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{AD}\):
\(\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}\)

Мы можем преобразовать это уравнение:
\(\overrightarrow{AE} - x\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + y\overrightarrow{AC}\)

Так как В и С лежат на плоскости ABC, мы можем использовать их векторные соотношения:
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

Подставим это в предыдущее уравнение:
\(\overrightarrow{AE} - x\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + y(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})\)

Раскроем скобки:
\(\overrightarrow{AE} - x\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + y\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{BC}\)

Перегруппируем векторы:
\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + (x + y)\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{BC}\)

Обозначим \((x + y)\) за \(k\) (новую константу), а \(y\) за \((-m)\), где \(m\) - это новая константа, чтобы упростить уравнение:
\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + k\overrightarrow{AB} - m\overrightarrow{BC}\)

Теперь у нас есть векторное уравнение для точек A, B, C, D и E в плоскости ABC. Наша цель - показать, что эта пирамида параллельна плоскости ABC.

Предположим, что пирамида DE не параллельна плоскости ABC. Это означает, что \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) не лежат в одной плоскости. Но, согласно рассуждениям выше, мы получили векторное уравнение:

\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + k\overrightarrow{AB} - m\overrightarrow{BC}\)

Это означает, что \(\overrightarrow{AE}\) должен лежать в той же плоскости, что и \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Противоречие! Мы получили, что DE лежит в плоскости ABC.

Таким образом, если DE равно х умножить на ВА + у умножить на СА, то пирамида DE параллельна плоскости ABC, в которой находится треугольник ABC и точки D и E.