1. Каковы площадь поверхности и объем прямой призмы, которая имеет форму ромба со стороной 12 см и углом 30º, и высотой

Ястребок

1

Решение:

1. Площадь поверхности прямой призмы: Сначала найдем площадь боковой поверхности. Для этого умножим периметр основания на высоту призмы. У ромба все стороны равны между собой, поэтому периметр ромба можно найти, умножив длину одной стороны на 4. Периметр ромба равен \(4 \cdot 12\,см = 48\,см\). Затем умножим полученный периметр на высоту призмы: \(48\,см \cdot 7\,см = 336\,см^2\).

Теперь найдем площадь основания призмы. Площадь ромба можно найти, умножив половину произведения длин его диагоналей. Угол между диагоналями ромба равен 30º. Диагональ ромба можно найти, применяя теорему Косинусов к треугольнику, образованному двумя сторонами ромба и его диагональю. Длина диагонали ромба равна \(2 \cdot 12\,см \cdot \cos(30º) = 2 \cdot 12\,см \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\,см\). Теперь можно найти площадь основания призмы: \(12\sqrt{3}\,см \cdot 12\,см = 144\sqrt{3}\,см^2\).

Таким образом, площадь поверхности прямой призмы равна сумме площади боковой поверхности и площади основания: \(336\,см^2 + 144\sqrt{3}\,см^2\).

Объем прямой призмы: Чтобы найти объем прямой призмы, умножим площадь основания на высоту призмы: \(144\sqrt{3}\,см^2 \cdot 7\,см = 1008\sqrt{3}\,см^3\).

2. Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды: Площадь поверхности можно найти, сложив площади основания и боковой поверхности.
Площадь основания пирамиды равна \(12\,см \cdot 12\,см = 144\,см^2\).

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, умножив половину периметра основания на апофему пирамиды. Периметр основания равен \(4 \cdot 12\,см = 48\,см\), апофема равна 10 см. Площадь боковой поверхности: \(48 \,см \cdot 10\,см = 480\,см^2\).

Теперь сложим площадь основания и площадь боковой поверхности: \(144\,см^2 + 480\,см^2\).

Объем правильной четырехугольной пирамиды: Чтобы найти объем пирамиды, умножим площадь основания на высоту и разделим результат на 3. Высота пирамиды равна 8 см. Объем: \(144\,см^2 \cdot 8\,см \div 3 = 384\,см^3\).

3. Площадь поверхности и объем цилиндра: Площадь поверхности цилиндра можно найти, сложив площадь боковой поверхности и площадь двух оснований.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению окружности основания на высоту. Окружность основания можно найти, умножив радиус на 2π, где π (пи) - математическая константа, приблизительно равная 3,14159.
Площадь боковой поверхности: \(2 \cdot 3\,см \cdot \pi \cdot 5\,см\).

Площадь двух оснований цилиндра можно найти, умножив площадь одного основания на 2. Площадь основания цилиндра равна \(3^2\,см^2 \cdot \pi\).
Площадь двух оснований: \(2 \cdot (3^2\,см^2 \cdot \pi)\).

Сложим площадь двух оснований и площадь боковой поверхности цилиндра: \(2 \cdot (3^2\,см^2 \cdot \pi) + 2 \cdot 3\,см \cdot \pi \cdot 5\,см\).

Объем цилиндра можно найти, умножив площадь основания на высоту цилиндра: \(3^2\,см^2 \cdot \pi \cdot 5\,см\).

4. Площадь поверхности и объем шара: Площадь поверхности шара можно найти, умножив диаметр на π (пи). Диаметр шара равен удвоенному радиусу: \(2 \cdot 6\,см\). Тогда площадь поверхности шара равна \(2 \cdot 6\,см \cdot \pi\).

Объем шара можно найти, используя формулу объема шара: \(\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6\,см)^3\).

Чтобы узнать, можно ли использовать металлический брусок в форме прямоугольного параллелепипеда для изготовления шара, сравним объем шара и объем бруска. Если объем шара меньше объема бруска, то его можно использовать для изготовления шара. Если объем шара больше объема бруска, то его нельзя использовать для изготовления шара.