1) Каковы уравнения парабол, которые проходят через точки (-1;1) и (1;4), и имеют оси OX и прямую у=(х+2)^2

Светлячок_В_Траве

31

Задача 1:
Для нахождения уравнений парабол, которые проходят через заданные точки и имеют заданные оси и прямые, мы можем использовать процесс интерполяции.

Шаг 1: Найдем уравнение параболы, которая проходит через точку (-1, 1) и имеет ось OX.
Пусть уравнение этой параболы имеет вид y = ax^2 + b. Подставим координаты точки (-1, 1) в это уравнение:

1 = a(-1)^2 + b
1 = a + b - уравнение (1)

Шаг 2: Найдем уравнение параболы, которая проходит через точку (1, 4) и имеет ось OX.
Подставим координаты точки (1, 4) в уравнение y = ax^2 + b:

4 = a(1)^2 + b
4 = a + b - уравнение (2)

Шаг 3: Решим полученную систему уравнений (1) и (2).
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

4 - 1 = (a + b) - (a + b)
3 = 0

Полученное уравнение 3 = 0 является противоречием, что означает, что система несовместна, и не существует параболы, которая проходила бы через точки (-1, 1) и (1, 4), имея ось OX и прямые y=(x+2)^2 и y=(x-3)^2 одновременно.

Задача 2:
График функции y = sin(x) может пересекать прямую y = 1/2 на отрезке [-\pi/2, \pi/2].

Давайте нарисуем график функции y = sin(x) и прямую y = 1/2 на данном отрезке, чтобы увидеть точки пересечения:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
xlabel={x},
ylabel={y},
xmin=-2,
xmax=2,
ymin=-1.5,
ymax=1.5,
axis lines=middle,
xtick={-1.57,0,1.57},
xticklabels={$-\pi/2$,$0$,$\pi/2$},
ytick={-1,0.5,1},
yticklabels={$-1$,$1/2$,$1$}
]
\addplot[blue, domain=-1.57:1.57, samples=100]{sin(deg(x))};
\addplot[red, dashed, domain=-1.57:1.57]{0.5};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Из графика видно, что график функции пересекает прямую y = 1/2 в двух точках: около x = -\pi/6 и около x = \pi/6.

Итак, график функции у = sin(x), который пересекает прямую y = 1/2 и отрезок [-\pi/2, \pi/2], имеет две точки пересечения около x = -\pi/6 и около x = \pi/6.