1. Какой будет 26-й член арифметической прогрессии (c n ), если первый член равен 2,5, а разность равна -0,12? 2. Чему

Радужный_День

57

1. Для нахождения \(n\)-го члена арифметической прогрессии (\(c_n\)) с известным первым членом (\(a_1\)) и разностью (\(d\)), мы можем использовать формулу:

\[c_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

В данном случае первый член арифметической прогрессии (\(a_1\)) равен 2.5, а разность (\(d\)) равна -0.12. Чтобы найти 26-й член (\(c_{26}\)), мы можем подставить значения в формулу:

\[c_{26} = 2.5 + (26-1) \cdot (-0.12)\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[c_{26} = 2.5 + 25 \cdot (-0.12)\]
\[c_{26} = 2.5 - 3\]
\[c_{26} = -0.5\]

Таким образом, 26-й член арифметической прогрессии равен -0.5.

2. Для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии с известным первым членом (\(a_1\)), разностью (\(d\)) и количеством членов (\(n\)), мы можем использовать формулу:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d)\]

В данном случае первый член арифметической прогрессии (\(a_1\)) равен 11, разность (\(d\)) равна 1, а количество членов (\(n\)) равно 30. Подставим значения в формулу:

\[S_{30} = \frac{30}{2} \cdot (2 \cdot 11 + (30-1) \cdot 1)\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[S_{30} = 15 \cdot (22 + 29)\]
\[S_{30} = 15 \cdot 51\]
\[S_{30} = 765\]

Таким образом, сумма первых 30 членов арифметической прогрессии равна 765.

3. Для нахождения суммы первых \(n\) членов последовательности (\(a_n\)), заданной формулой \(a_n = 3n + 2\), мы можем воспользоваться формулой суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

В данном случае первый член последовательности (\(a_1\)) равен \(a_1 = 3 \cdot 1 + 2 = 5\), а \(a_n\) равно \(a_n = 3n + 2\). Чтобы найти сумму первых 20 членов (\(S_{20}\)), подставим значения в формулу:

\[S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (5 + (3 \cdot 20 + 2))\]

Выполняя вычисления, мы получаем:

\[S_{20} = 10 \cdot (5 + 62)\]
\[S_{20} = 10 \cdot 67\]
\[S_{20} = 670\]

Таким образом, сумма первых 20 членов последовательности равна 670.

4. Чтобы проверить, принадлежит ли число 35 арифметической прогрессии (\(a_n\)), в которой первый член равен -47, а девятый член равен -23, мы можем использовать формулу для нахождения \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1) \cdot d\]

В данном случае первый член арифметической прогрессии (\(a_1\)) равен -47, а девятый член (\(a_9\)) равен -23. Подставим значения в формулу и найдем разность (\(d\)):

\[-23 = -47 + (9-1) \cdot d\]
\[-23 = -47 + 8 \cdot d\]
\[-23 = -47 + 8d\]
\[8d = -23 + 47\]
\[8d = 24\]
\[d = \frac{24}{8}\]
\[d = 3\]

Теперь мы можем проверить, равно ли 35 \(n\)-му члену арифметической прогрессии, используя найденную разность (\(d\)):

\[35 = -47 + (n-1) \cdot 3\]

Выразим \(n\):

\[n-1 = \frac{35 + 47}{3}\]
\[n-1 = \frac{82}{3}\]

Данное выражение является дробью, что означает, что число 35 не является целочисленным \(n\)-м членом арифметической прогрессии. Таким образом, число 35 не принадлежит данной арифметической прогрессии.

5. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих некоторого числа \(N\), мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

В данном случае нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих некоторого числа \(N\). Заметим, что последовательность таких чисел будет арифметической прогрессией с первым членом \(a_1 = 4\) и разностью \(d = 4\). Чтобы найти количество членов (\(n\)) этой арифметической прогрессии, требуется найти наибольшее целое число \(m\), такое что \(4m \leq N\). Затем, подставим значения в формулу:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(a_n\) будет равно \(N\). Обозначим \(m\) как максимальное значение \(n\), которое является значением \(m\) в формуле:

\[S = \frac{m}{2} \cdot (4 + N)\]

Например, если \(N = 20\), находим наибольшее целое число \(m\), такое что \(4m \leq 20\) равно 5. Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{5}{2} \cdot (4 + 20)\]
\[S = \frac{5}{2} \cdot 24\]
\[S = 60\]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 20, равна 60.