1. Какой объем горячей воды необходимо взять, чтобы при смешивании с 40 л холодной водой при 10 ºС получить температуру

Pelikan

35

1. Для решения данной задачи мы можем использовать формулу теплообмена. Тепловая энергия, переданная от горячей воды к холодной воде, равна тепловой энергии, поглощенной холодной водой. Следовательно, мы можем записать уравнение:

\(m_1c_1(T_1 - T_m) = m_2c_2(T_m - T_2)\),

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы горячей и холодной воды соответственно, \(c_1\) и \(c_2\) - теплоемкости горячей и холодной воды, \(T_1\) - начальная температура горячей воды, \(T_m\) - искомая температура после смешивания, \(T_2\) - начальная температура холодной воды.

Для решения данной задачи мы знаем, что начальная температура горячей воды равна \(T_1 = 100 ºC\), начальная температура холодной воды \(T_2 = 10 ºC\), объем холодной воды \(V_2 = 40 \, л\), и искомый объем горячей воды \(V_1\).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(V_1\):

\((V_1 + V_2) \cdot c_1 \cdot (T_m - T_1) = V_2 \cdot c_2 \cdot (T_m - T_2)\).

Подставим известные значения и решим уравнение:

\((V_1 + 40) \cdot 4,18 \cdot (40 - 100) = 40 \cdot 4,18 \cdot (40 - 10)\).

Распишем это уравнение:

\(V_1 \cdot 4,18 \cdot (-60) + 40 \cdot 4,18 \cdot 40 = 40 \cdot 4,18 \cdot 30\).

Упростим:

\(-60 \cdot 4,18 \cdot V_1 + 40 \cdot 4,18 \cdot 40 = 40 \cdot 4,18 \cdot 30\).

Перегруппируем:

\(-60 \cdot 4,18 \cdot V_1 = 40 \cdot 4,18 \cdot 30 - 40 \cdot 4,18 \cdot 40\).

Выполним вычисления:

\(-60 \cdot 4,18 \cdot V_1 = 40 \cdot 4,18 \cdot (30 - 40)\).

Упростим:

\(-60 \cdot 4,18 \cdot V_1 = 40 \cdot 4,18 \cdot (-10)\).

Выразим \(V_1\):

\(V_1 = \frac{40 \cdot 4,18 \cdot (-10)}{-60 \cdot 4,18}\).

Выполним вычисления:

\(V_1 = -\frac{40}{6} \approx -6,67 \, л\).

Ответ: Чтобы получить температуру 40 ºC при смешивании с 40 л холодной водой при 10 ºC, нужно взять горячей воды около 6,67 л.

2. Для решения этой задачи мы можем использовать тепловое уравнение:

\(m_1c_1(T_1 - T_m) = m_2c_2(T_m - T_2)\).

Здесь \(m_1\) - масса алюминиевой ложки, \(c_1\) - ее теплоемкость, \(T_1\) - начальная температура ложки, \(T_m\) - искомая температура после теплообмена, \(m_2\) - масса воды, \(c_2\) - ее теплоемкость, \(T_2\) - начальная температура воды.

Известно, что \(m_1 = 0,5 \, кг\), \(c_1\) для алюминия около \(0,9 \, кДж/(кг \cdot °C)\), \(T_1\) - неизвестное значение, \(T_m = 40 ºС\), \(m_2 = 0,5 \, кг\), \(c_2\) для воды составляет \(4,18 \, кДж/(кг \cdot °C)\), \(T_2 = 80 ºС\).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(T_1\):

\(0,5 \cdot 0,9 \cdot (T_1 - 40) = 0,5 \cdot 4,18 \cdot (40 - 80)\).

Подставим известные значения и решим уравнение:

\(0,45 \cdot (T_1 - 40) = 0,5 \cdot 4,18 \cdot (-40)\).

Упростим:

\(0,45 \cdot (T_1 - 40) = -0,5 \cdot 4,18 \cdot 40\).

Выполним вычисления:

\(0,45 \cdot (T_1 - 40) = -0,5 \cdot 4,18 \cdot 40\).

Распишем это уравнение:

\(0,45 \cdot T_1 - 0,45 \cdot 40 = -0,5 \cdot 4,18 \cdot 40\).

Упростим:

\(0,45 \cdot T_1 - 0,45 \cdot 40 = -0,5 \cdot 4,18 \cdot 40\).

Перегруппируем:

\(0,45 \cdot T_1 = -0,5 \cdot 4,18 \cdot 40 + 0,45 \cdot 40\).

Выполним вычисления:

\(0,45 \cdot T_1 = -0,5 \cdot 4,18 \cdot 40 + 0,45 \cdot 40\).

\(0,45 \cdot T_1 = -83,6 + 18\).

Упростим:

\(0,45 \cdot T_1 = -65,6\).

Выразим \(T_1\):

\(T_1 = \frac{-65,6}{0,45}\).

Выполним вычисления:

\(T_1 = \frac{-65,6}{0,45}\).

\(T_1 \approx -145,8\).

Ответ: Начальная температура алюминиевой ложки около -145,8 ºС.

3. Данная задача может быть решена с использованием закона сохранения теплоэнергии. Мы можем записать уравнение:

\(m_1c_1(T_1 - T_m) + m_2c_2(T_2 - T_m) = 0\),

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы свинцовых и алюминиевых опилок соответственно, \(c_1\) и \(c_2\) - теплоемкости свинца и алюминия, \(T_1\) и \(T_2\) - их начальные температуры, \(T_m\) - искомая температура после смешивания.

Известно, что \(m_1 = 100 \, г\), \(c_1\) для свинца составляет \(0,13 \, кДж/(кг \cdot °C)\), \(T_1 = 50ºC\), \(m_2 = 50 \, г\), \(c_2\) для алюминия около \(0,9 \, кДж/(кг \cdot °C)\), \(T_2 = 70ºC\).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(T_m\):

\(0,1 \cdot 0,13 \cdot (50 - T_m) + 0,05 \cdot 0,9 \cdot (70 - T_m) = 0\).

Распишем это уравнение:

\(0,013 \cdot (50 - T_m) + 0,045 \cdot (70 - T_m) = 0\).

Упростим:

\(0,013 \cdot (50 - T_m) + 0,045 \cdot (70 - T_m) = 0\).

Перегруппируем:

\(0,013 \cdot 50 - 0,013 \cdot T_m + 0,045 \cdot 70 - 0,045 \cdot T_m = 0\).

Выполним вычисления:

\(0,65 - 0,013 \cdot T_m + 3,15 - 0,045 \cdot T_m = 0\).

Упростим:

\(3,8 - 0,058 \cdot T_m = 0\).

Выразим \(T_m\):

\(0,058 \cdot T_m = 3,8\).

Выполним вычисления:

\(T_m = \frac{3,8}{0,058}\).

Выполним вычисления:

\(T_m \approx 65,52\).

Ответ: Смешивание свинцовых опилок при 50 ºC с алюминиевыми опилками при 70 ºC произошло при температуре около 65,52 ºC.

4. Для решения этой задачи мы можем использовать эквивалентность массы холодной воды и сосуда с его содержимым. Мы можем записать уравнение:

\(m_1c_1(T_1 - T_m) + m_2c_2(T_2 - T_m) = 0\),

где \(m_1\) - масса воды, \(m_2\) - масса сосуда, \(c_1\) и \(c_2\) - теплоемкости воды и сосуда соответственно, \(T_1\) - начальная температура воды, \(T_m\) - искомая начальная температура воды и сосуда, \(T_2\) - исходная температура сосуда.

Известно, что масса сосуда \(m_2 = 1,5 \, кг\), \(c_2\) для сосуда составляет \(0,84 \, кДж/(кг \cdot °C)\), \(T_1\) - неизвестное значение, \(T_m = 40 ºС\).

Теперь мы можем решить уравнение относительно \(T_1\):

\(m_1c_1(T_1 - 40) + 1,5 \cdot 0,84 \cdot (40 - 40) = 0\).

Подставим известные значения и решим уравнение:

\(m_1c_1(T_1 - 40) = 0\).

Поделим обе части уравнения на \(T_1 - 40\):

\(m_1c_1 = 0\).

Учитывая, что масса воды \(m_1\) и ее теплоемкость \(c_1\) ненулевые значения, мы можем заключить, что у нас нет начальной температуры воды, при которой идеально можно впустить ее в сосуд массой 1,5 кг.

Ответ: Невозможно определить начальную температуру воды для идеального впуска ее в сосуд массой 1,5 кг.