Используя правила вычисления производных, определите (41.1—41.2): 1. 1) Найдите производную функции f(x) = 3х

Shmel

3

Конечно! Давайте решим все эти задачи по порядку.

1) Найдите производную функции \(f(x) = 3x - \sqrt{3}\).

Для нахождения производной вычислим производную каждого слагаемого по отдельности.

По правилу производной для константы, производная от константы равна нулю. Поэтому производная от \(\sqrt{3}\) будет равна 0.

Теперь возьмем производную слагаемого \(3x\) по правилу производной линейной функции. Для линейной функции \(ax\) производная равна коэффициенту при \(x\), то есть \(a\). В данном случае коэффициент перед \(x\) равен 3, поэтому производная равна 3.

Таким образом, производная функции \(f(x) = 3x - \sqrt{3}\) равна 3.

2) Найдите производную функции \(f(x) = x^3 - \sqrt{3x}\).

Для нахождения производной вычислим производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная от \(x^3\) равна \(3x^2\) по правилу производной степенной функции.

Возьмем производную слагаемого \(-\sqrt{3x}\) по правилу производной функции с корнем. Данное правило гласит, что производная функции \(\sqrt{f(x)}\) равна \(\frac{f"(x)}{2\sqrt{f(x)}}\). В данном случае проведем аналогичные действия: найдем производную функции \(3x\) (а она равна 3) и подставим значения в формулу. Получаем \(\frac{3}{2\sqrt{3x}}\).

Соберем все слагаемые вместе и упростим выражение: \(f"(x) = 3x^2 - \frac{3}{2\sqrt{3x}}\).

3) Найдите производную функции \(f(x) = x^2 + 3x - \sqrt{2}\).

Производная от \(x^2\) равна \(2x\) по правилу производной степенной функции.

Производная от \(3x\) равна 3 по правилу производной линейной функции.

Производная от \(-\sqrt{2}\) равна 0 по правилу производной константы.

Соберем все слагаемые вместе: \(f"(x) = 2x + 3 - 0 = 2x + 3\).

4) Найдите производную функции \(f(x) = x^3 - \sqrt{7x} + п\).

Производная от \(x^3\) равна \(3x^2\) по правилу производной степенной функции.

Производная от \(-\sqrt{7x}\) равна \(\frac{-7}{2\sqrt{7x}}\) по правилу производной функции с корнем (аналогично предыдущей задаче).

Так как новая переменная "п" является константой, ее производная равна 0.

Соберем все слагаемые вместе: \(f"(x) = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}} + 0 = 3x^2 - \frac{7}{2\sqrt{7x}}\).

5) Найдите производную функции \(f(x) = 5x^{-4} + 2x - \sqrt{5}\).

Производная от \(5x^{-4}\) равна \(-20x^{-5}\) по правилу производной отрицательной степенной функции.

Производная от \(2x\) равна 2 по правилу производной линейной функции.

Производная от \(-\sqrt{5}\) равна 0 по правилу производной константы.

Соберем все слагаемые вместе: \(f"(x) = -20x^{-5} + 2 + 0 = -20x^{-5} + 2\).

6) Найдите производную функции \(f(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sqrt{3^{2x}} - 7\).

Производная от \(\frac{2}{5}x^5\) равна \(2x^4\) по правилу производной степенной функции.

Производная от \(-\sqrt{3^{2x}}\) равна \(-\frac{2 \cdot 3^{2x} \ln 3}{2\sqrt{3^{2x}}} = -\frac{3^x \ln 3}{\sqrt{3^{2x}}}\) по правилу производной функции с корнем (аналогично предыдущим задачам).

Производная от \(-7\) равна 0 по правилу производной константы.

Соберем все слагаемые вместе: \(f"(x) = 2x^4 - \frac{3^x \ln 3}{\sqrt{3^{2x}}} - 0 = 2x^4 - \frac{3^x \ln 3}{\sqrt{3^{2x}}}.\)

Теперь перейдем ко второй части задания.

2) Найдите производную функции \(f(x) = 3x(x - 1)\).

Раскроем скобки: \(f(x) = 3x^2 - 3x\).

Производная от \(3x^2\) равна \(6x\) по правилу производной степенной функции.

Производная от \(-3x\) равна \(-3\) по правилу производной линейной функции.

Соберем все слагаемые вместе: \(f"(x) = 6x - 3\).

2) Найдите производную функции \(f(x) = x^2(x^3 - \sqrt{3x})\).

Раскроем скобки: \(f(x) = x^2 \cdot x^3 - x^2 \cdot \sqrt{3x}\).

Производная от \(x^2 \cdot x^3\) равна \(2x \cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4\) по правилу производной степенной функции.

Производная от \(-x^2 \cdot \sqrt{3x}\) равна \(-\sqrt{3x} \cdot 2x^3 + x^2 \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x}} = -2\sqrt{3x} \cdot x^3 + \frac{3x^2}{2\sqrt{3x}} = -2\sqrt{3x}x^3 + \frac{3x^2}{2\sqrt{3x}}\) по правилу производной функции с корнем (аналогично предыдущим задачам).

Соберем все слагаемые вместе: \(f"(x) = 5x^4 - 2\sqrt{3x}x^3 + \frac{3x^2}{2\sqrt{3x}}\).

3) Найдите производную функции \(f(x) = (x^2 + 3)(x - 5)\).

Раскроем скобки: \(f(x) = x^3 - 5x^2 + 3x - 15\).

Производная от \(x^3\) равна \(3x^2\) по правилу производной степенной функции.

Производная от \(-5x^2\) равна -10x по правилу производной степенной функции.

Производная от \(3x\) равна 3 по правилу производной линейной функции.

Производная от \(-15\) равна 0 по правилу производной константы.

Соберем все слагаемые вместе: \(f"(x) = 3x^2 - 10x + 3\).

4) Найдите производную функции \(f(x) = \frac{2}{x}\).

Производная от \(\frac{2}{x}\) можно найти по правилу производной от обратной функции. Правило просто: если у нас есть функция \(\frac{1}{f(x)}\), то ее производная равна \(-\frac{f"(x)}{(f(x))^2}\). Применяя это к нашей функции, получим: \(f"(x) = -\frac{2}{x^2}\).

Таким образом, производная функции \(f(x) = \frac{2}{x}\) равна \(-\frac{2}{x^2}\).

Это все ответы на задачи. Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать!