1. Кескінді координаталар жүйесінде А(0;-4;5), B(-2; 7; 4), C(0; 3;0) және D(5; 2;6) нүктелерін табып, оларды

Daniil_2033

3

1. Для того чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C и D, воспользуемся формулой общего уравнения плоскости:
\[Ax + By + Cz + D = 0,\]
где A, B и C - координаты нормального вектора плоскости, а D - свободный параметр.

a) Найдем нормальный вектор плоскости, используя точки A, B и C. Для этого вычислим два векторных произведения:
\[\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-2-0,7-(-4),4-(-4),0-5) = (-2,11,-4).\]
\[\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (0-0,3-(-4),0-5) = (0,7,-5).\]
Нормальный вектор равен векторному произведению этих векторов:
\[\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 11 & -4 \\ 0 & 7 & -5 \end{vmatrix} = (-17, -10, 14).\]

Теперь, подставляем найденный нормальный вектор и координаты любого из точек (например, возьмем точку A) в общее уравнение плоскости:
\[-17x - 10y + 14z + D = 0.\]
Подставляем координаты точки A и находим D:
\[-17\cdot0 - 10\cdot(-4) + 14\cdot5 + D = 0.\]
\[40 + D = 0.\]
\[D = -40.\]

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C и D, имеет вид:
\[-17x - 10y + 14z - 40 = 0.\]

2. Чтобы найти координаты вектора е, составленного по заданным векторам a, k, n и d, умножим каждый из них на соответствующий коэффициент и сложим результаты:
\[e = -5a + k - 6n + d.\]
\[e = -5\cdot(3,0,-2) + (1,2,-5) - 6\cdot(-1,1,1) + (8,4,1).\]
\[e = (-15,0,10) + (1,2,-5) + (6,-6,-6) + (8,4,1).\]
\[e = (0,0,0).\]

Таким образом, координаты вектора е равны (0,0,0).

3. Для того чтобы узнать, не коллинеарны ли векторы c и d, нужно проверить, равны ли их координатное отношение. Если отношение всех соответствующих координат будет одинаковым, векторы коллинеарны. В противном случае они неколлинеарны.

Вычислим отношение координат для векторов c и d:
\[\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = \frac{-8}{4} \neq \frac{d_1}{d_2}.\]

Таким образом, векторы c и d являются неколлинеарными.

4. Для того чтобы найти угол между прямой AC и плоскостью, используем следующую формулу: Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

a) Найдем направляющий вектор прямой AC:
\[\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-4-2,7-(-1),2-1,3-4) = (-6,1,-1).\]

b) Нормальный вектор плоскости мы уже нашли в первой задаче: \(\vec{n} = (-17, -10, 14)\).

Теперь, используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами:
\[\cos{\theta} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{n}}{\|\vec{AC}\| \cdot \|\vec{n}\|}.\]
\[\cos{\theta} = \frac{(-6,1,-1) \cdot (-17, -10, 14)}{\sqrt{(-6)^2+1^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{(-17)^2+(-10)^2+14^2}}.\]
\[\cos{\theta} = \frac{198}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{549}}.\]

Таким образом, угол между прямой AC и плоскостью равен \(12^\circ\).

5. Для того чтобы найти координаты точки пересечения кесений EF и ЕК, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:

a) Найдем направляющий вектор прямой EF:
\[\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = (x_1+1,y_1-2,z_1-4).\]

b) Найдем параметрическое уравнение прямой EF, используя координаты точки E(-1,2,4) и направляющий вектор:
\[x = x_1 + 1,\]
\[y = y_1 - 2,\]
\[z = z_1 - 4.\]

c) Подставим координаты точки K(0,0,2) в параметрическое уравнение прямой EF для нахождения значений \(x_1\), \(y_1\) и \(z_1\):
\[0 = x_1 + 1,\]
\[0 = y_1 - 2,\]
\[2 = z_1 - 4.\]
Отсюда получаем, что \(x_1 = -1\), \(y_1 = 2\), \(z_1 = 6\).

Таким образом, координаты точки пересечения кесений EF и ЕК равны (-1,2,6).