1. На диске имеются белые и черные отметки. При равномерном вращении диска скорость белой отметки вдвое больше скорости

Святослав

64

Задача 1:

а) Пусть \(v_b\) - скорость черной отметки и \(v_w\) - скорость белой отметки при равномерном вращении диска. Условие гласит, что скорость белой отметки вдвое больше скорости черной. То есть \(v_w = 2v_b\).

Так как отметки находятся на одном и том же вращающемся диске, то оба движения будут происходить по окружности. Скорость точки на окружности определяется формулой \(v = \omega r\), где \(\omega\) - угловая скорость, а \(r\) - радиус окружности.

Радиус окружности обратно пропорционален скорости. То есть, если скорость увеличивается вдвое, радиус уменьшается вдвое и наоборот.

Таким образом, белая отметка находится ближе к центру диска, так как ее скорость вдвое больше скорости черной.

б) Одна отметка ближе к центру диска в \(2:1\) раза, так как радиус пропорционален скорости с коэффициентом пропорциональности 2.

в) Центростремительное ускорение определяется формулой \(a = \frac{v^2}{r}\), где \(v\) - скорость, а \(r\) - радиус окружности.

Ускорение точки на окружности также обратно пропорционально радиусу. То есть, если радиус увеличивается вдвое, ускорение уменьшается вдвое и наоборот.

Исходя из этого, центростремительное ускорение белой отметки в \(2:1\) раза больше, чем центростремительное ускорение черной отметки.

Задача 2:

а) Период обращения секундной стрелки на настенных часах можно найти используя формулу \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), где \(T\) - период, а \(\omega\) - угловая скорость.

Длина окружности, которую описывает секундная стрелка, равна длине стрелки, то есть 25 см. Поэтому \(2\pi r = 25\), где \(r\) - радиус окружности.

Из этого следует, что \(r = \frac{25}{2\pi}\).

Так как скорость точки на окружности определяется угловой скоростью и радиусом по формуле \(v = \omega r\), то угловая скорость будет равна \(\omega = \frac{v}{r}\).

Длина секундной стрелки настенных часов соответствует скорости 1 оборот в 60 секунд, что равно \(\frac{2\pi}{60}\) рад/с. Подставим это значение в формулу для угловой скорости и найдем период:

\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{60}} = 60 \text{ сек}\]

б) Скорость конца стрелки можно найти, используя формулу \(v = \omega r\), где \(r\) - радиус окружности.

Подставляя значения, получаем:

\[v = \frac{2\pi}{60} \cdot \frac{25}{2\pi} = \frac{25}{60} \approx 0.417 \text{ м/с}\]

б) Центростремительное ускорение конца стрелки определяется формулой \(a = \frac{v^2}{r}\), где \(v\) - скорость, а \(r\) - радиус окружности.

Подставляя значения, получаем:

\[a = \frac{(\frac{25}{60})^2}{\frac{25}{2\pi}} = \frac{25^2}{60^2} \cdot \frac{2\pi}{25} = \frac{5}{12} \pi \approx 1.31 \text{ м/с}^2\]