1. На изображении показан куб. Определите значения углов между указанными векторами, используя одну и ту же точку
1. На изображении показан куб. Определите значения углов между указанными векторами, используя одну и ту же точку начала для векторов. а) B1B и B1C б) DA и B1D1 в) A1C1 и A1B1 г) BC и AC д) BB1 и AC е) B1C и AD1 ж) A1D1 и BC з) AA1 и C1C в Кубе ABCDA1B1C1D1.
2. Используя изображение, вычислите скалярное произведение векторов C1A1 и AC в Кубе ABCDA1B1C1D1.
3. Сопоставьте взаимное расположение двух векторов с соответствующими значениями углов между ними. 1. а↑↑b а. a b= 90* 2. а ↑↓b б. a b= 0* 3. а | b в. a b= 180*
4. Укажите формулу скалярного произведения векторов, которую нельзя использовать.
2. Используя изображение, вычислите скалярное произведение векторов C1A1 и AC в Кубе ABCDA1B1C1D1.
3. Сопоставьте взаимное расположение двух векторов с соответствующими значениями углов между ними. 1. а↑↑b а. a b= 90* 2. а ↑↓b б. a b= 0* 3. а | b в. a b= 180*
4. Укажите формулу скалярного произведения векторов, которую нельзя использовать.
Мирослав 19
1. Решение:а) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{B_1B} \) и \( \overrightarrow{B_1C} \) нужно вычислить скалярное произведение данных векторов и поделить его на произведение модулей этих векторов. Пусть векторы заданы координатами:
\( \overrightarrow{B_1B} = (x_1, y_1, z_1) \)
\( \overrightarrow{B_1C} = (x_2, y_2, z_2) \)
Тогда формула для вычисления угла между векторами в трехмерном пространстве имеет вид:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{B_1B} \cdot \overrightarrow{B_1C}}}{{|\overrightarrow{B_1B}| \cdot |\overrightarrow{B_1C}|}} \]
где \( \cdot \) обозначает скалярное произведение векторов, \( | \cdot | \) обозначает модуль вектора, и \( \theta \) – угол между векторами.
Подставляя координаты векторов, получаем:
\[ \cos(\theta) = \frac{{x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2}}{{\sqrt{{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}} \cdot \sqrt{{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}}} \]
б) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{B_1D_1} \) можно использовать ту же формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{B_1D_1}}}{{|\overrightarrow{DA}| \cdot |\overrightarrow{B_1D_1}|}} \]
в) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{A_1C_1} \) и \( \overrightarrow{A_1B_1} \) нужно также использовать ту же формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{A_1C_1} \cdot \overrightarrow{A_1B_1}}}{{|\overrightarrow{A_1C_1}| \cdot |\overrightarrow{A_1B_1}|}} \]
г) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{AC} \) можно использовать формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}} \]
д) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{BB_1} \) и \( \overrightarrow{AC} \) нужно также использовать формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{BB_1} \cdot \overrightarrow{AC}}}{{|\overrightarrow{BB_1}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}} \]
е) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{B_1C} \) и \( \overrightarrow{AD_1} \) можно использовать формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{B_1C} \cdot \overrightarrow{AD_1}}}{{|\overrightarrow{B_1C}| \cdot |\overrightarrow{AD_1}|}} \]
ж) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{A_1D_1} \) и \( \overrightarrow{BC} \) нужно также использовать формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{A_1D_1} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{|\overrightarrow{A_1D_1}| \cdot |\overrightarrow{BC}|}} \]
з) Для определения значения угла между векторами \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{C_1C} \) также можно использовать формулу:
\[ \cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{AA_1} \cdot \overrightarrow{C_1C}}}{{|\overrightarrow{AA_1}| \cdot |\overrightarrow{C_1C}|}} \]
2. Решение:
Для вычисления скалярного произведения векторов \( \overrightarrow{C_1A_1} \) и \( \overrightarrow{AC} \) нужно умножить соответствующие координаты этих векторов и сложить полученные произведения. Пусть векторы заданы координатами:
\( \overrightarrow{C_1A_1} = (x_3, y_3, z_3) \)
\( \overrightarrow{AC} = (x_4, y_4, z_4) \)
Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид:
\[ \overrightarrow{C_1A_1} \cdot \overrightarrow{AC} = x_3 \cdot x_4 + y_3 \cdot y_4 + z_3 \cdot z_4 \]
3. Решение:
Используя таблицу соответствия, можем сопоставить данные значения углов с взаимным расположением векторов:
1. а↑↑b – значит, что векторы a и b параллельны и направлены в одном направлении. Значение угла между ними равно 0 градусам.
2. а↑↓b – значит, что векторы a и b параллельны и направлены в противоположных направлениях. Значение угла между ними равно 180 градусам.
3. а | b – значит, что векторы a и b перпендикулярны друг другу. Значение угла между ними равно 90 градусам.
Формула скалярного произведения векторов, которую нельзя использовать, не указана в задании. Если вам необходимо, чтобы я уточнил определенную формулу, пожалуйста, уточните ее.