1) На якостных чертежах, пожалуйста, постройте: а) треугольник А1В1С1, который является симметричным треугольнику

Shnur_438

12

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

a) Для начала, нам необходимо построить симметричный треугольник А1В1С1 относительно точки D(1; -1). Для этого мы можем использовать следующий алгоритм:
1. Отразим точку А относительно точки D.
2. Отразим точку В относительно точки D.
3. Отразим точку С относительно точки D.

Давайте найдем координаты полученных точек:

1) Для отражения точки А относительно точки D, мы можем использовать следующую формулу:
\[A1 = 2D - A\]

Подставим координаты точки A(1, 3) и точки D(1, -1) в формулу:
\[A1 = 2(1, -1) - (1, 3) = (2, -2) - (1, 3) = (2 - 1, -2 - 3) = (1, -5)\]

Таким образом, получаем координаты точки A1(1, -5).

2) Для отражения точки В относительно точки D, мы также будем использовать формулу:
\[B1 = 2D - B\]

Подставим координаты точки B(-2, -2) и точки D(1, -1) в формулу:
\[B1 = 2(1, -1) - (-2, -2) = (2, -2) - (-2, -2) = (2 + 2, -2 + 2) = (4, 0)\]

Получаем координаты точки В1(4, 0).

3) Наконец, для отражения точки С относительно точки D, мы снова будем использовать формулу:
\[C1 = 2D - C\]

Подставим координаты точки C(3, 1) и точки D(1, -1) в формулу:
\[C1 = 2(1, -1) - (3, 1) = (2, -2) - (3, 1) = (2 - 3, -2 - 1) = (-1, -3)\]

Таким образом, получаем координаты точки C1(-1, -3).

Таким образом, с использованием алгоритма отражения точек относительно заданной точки D, мы получаем симметричный треугольник А1В1С1 с координатами точек A1(1, -5), B1(4, 0) и C1(-1, -3).

b) Теперь перейдем к построению треугольника А2В2С2, который является симметричным треугольнику АВС относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Для построения этого треугольника мы можем использовать следующий алгоритм:
1. Найдем середину отрезка АВ и обозначим эту точку как М.
2. Найдем середину отрезка СМ и обозначим эту точку как N.
3. Отразим точку А относительно точки N.
4. Отразим точку B относительно точки N.
5. Отразим точку С относительно точки N.

Постепенно найдем координаты полученных точек:

1) Найдем середину отрезка АВ. Для этого мы можем использовать следующую формулу:
\[M = \left(\frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2}\right)\]

Подставим координаты точки A(1, 3) и точки B(-2, -2) в формулу:
\[M = \left(\frac{{1 - 2}}{2}, \frac{{3 - 2}}{2}\right) = \left(\frac{{-1}}{2}, \frac{{1}}{2}\right)\]

Получаем координаты точки M(-1/2, 1/2).

2) Найдем середину отрезка СМ. Снова используем формулу:
\[N = \left(\frac{{x_C + x_M}}{2}, \frac{{y_C + y_M}}{2}\right)\]

Подставим координаты точки C(3, 1) и точки M(-1/2, 1/2) в формулу:
\[N = \left(\frac{{3 - \frac{{1}}{2}}}{2}, \frac{{1 + \frac{{1}}{2}}}{2}\right) = \left(\frac{{5}}{4}, \frac{{3}}{4}\right)\]

Получаем координаты точки N(5/4, 3/4).

3) Отразим точку А относительно точки N. Используем формулу:
\[A2 = 2N - A\]

Подставим координаты точки A(1, 3) и точки N(5/4, 3/4) в формулу:
\[A2 = 2\left(\frac{{5}}{4}, \frac{{3}}{4}\right) - (1, 3) = \left(\frac{{10}}{4}, \frac{{6}}{4}\right) - (1, 3) = \left(\frac{{9}}{4}, \frac{{3}}{4}\right)\]

Получаем координаты точки A2(9/4, 3/4).

4) Отразим точку B относительно точки N. Используем формулу:
\[B2 = 2N - B\]

Подставим координаты точки B(-2, -2) и точки N(5/4, 3/4) в формулу:
\[B2 = 2\left(\frac{{5}}{4}, \frac{{3}}{4}\right) - (-2, -2) = \left(\frac{{10}}{4}, \frac{{6}}{4}\right) - (-2, -2) = \left(\frac{{9}}{4}, \frac{{3}}{4}\right)\]

Получаем координаты точки B2(9/4, 3/4).

5) Отразим точку С относительно точки N. Используем формулу:
\[C2 = 2N - C\]

Подставим координаты точки C(3, 1) и точки N(5/4, 3/4) в формулу:
\[C2 = 2\left(\frac{{5}}{4}, \frac{{3}}{4}\right) - (3, 1) = \left(\frac{{10}}{4}, \frac{{6}}{4}\right) - (3, 1) = \left(\frac{{9}}{4}, \frac{{3}}{4}\right)\]

Получаем координаты точки C2(9/4, 3/4).

Таким образом, построен треугольник А2В2С2 с координатами точек A2(9/4, 3/4), B2(9/4, 3/4) и C2(9/4, 3/4).

в) Наконец, перейдем к построению треугольника А4В4С4, который получается в результате поворота треугольника АВС на 90 градусов по часовой стрелке вокруг основания высоты АН.

Для этого нам потребуется найти координаты точек А4, В4 и С4 после поворота.

1) Найдем середину основания высоты АН. Для этого мы можем использовать следующую формулу:
\[M = \left(\frac{{x_A + x_N}}{2}, \frac{{y_A + y_N}}{2}\right)\]

Подставим координаты точки A(1, 3) и точки N(5/4, 3/4) в формулу:
\[M = \left(\frac{{1 + \frac{{5}}{4}}}{2}, \frac{{3 + \frac{{3}}{4}}}{2}\right) = \left(\frac{{9}}{8}, \frac{{15}}{8}\right)\]

Получаем координаты точки M(9/8, 15/8).

2) Найдем вектор вдоль высоты АН. Для этого мы можем использовать следующую формулу:
\[V = N - A\]

Подставим координаты точки N(5/4, 3/4) и точки A(1, 3) в формулу:
\[V = \left(\frac{{5}}{4}, \frac{{3}}{4}\right) - (1, 3) = \left(\frac{{5}}{4} - 1, \frac{{3}}{4} - 3\right) = \left(\frac{{-3}}{4}, \frac{{-9}}{4}\right)\]

Получаем вектор V(-3/4, -9/4).

3) Повернем вектор V на 90 градусов по часовой стрелке. Для этого мы можем использовать следующую формулу для координат повернутого вектора:
\[R = \left(-\frac{{y_V}}{d}, \frac{{x_V}}{d}\right)\]

Где d - длина вектора V, которую мы можем найти по формуле:
\[d = \sqrt{{x_V^2 + y_V^2}}\]

Подставим координаты вектора V(-3/4, -9/4) в формулы:
\[d = \sqrt{{\left(-\frac{{3}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{{9}}{4}\right)^2}} = \sqrt{{\frac{{9}}{16} + \frac{{81}}{16}}} = \sqrt{{\frac{{90}}{16}}} = \sqrt{{\frac{{45}}{8}}}\]

\[R = \left(-\frac{{-\frac{{9}}{4}}}{\sqrt{{\frac{{45}}{8}}}}}, \frac{{-\frac{{3}}{4}}}{\sqrt{{\frac{{45}}{8}}}}\right) = \left(-\frac{{9}}{4\sqrt{{\frac{{45}}{8}}}}}, -\frac{{3}}{4\sqrt{{\frac{{45}}{8}}}}\right) = \left(-\frac{{9}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}, -\frac{{3}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}\right)\]

Получаем координаты повернутого вектора R(-9/(4sqrt(5/2)), -3/(4sqrt(5/2))).

4) Теперь найдем координаты точки А4, которая получается путем сдвига точки М на повернутый вектор R. Для этого мы можем использовать следующую формулу:
\[A4 = M + R\]

Подставим координаты точки М(9/8, 15/8) и повернутого вектора R(-9/(4sqrt(5/2)), -3/(4sqrt(5/2))) в формулу:
\[A4 = \left(\frac{{9}}{8}, \frac{{15}}{8}\right) + \left(-\frac{{9}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}, -\frac{{3}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}\right) = \left(\frac{{9 - 18\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}{8}, \frac{{15 - 6\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}{8}\right)\]

Получаем координаты точки A4((9 - 18sqrt(5/2))/8, (15 - 6sqrt(5/2))/8).

5) Найдем координаты точек В4 и С4, повторив алгоритм для соответствующих точек В и С:

Для точки В4:
\[B4 = M + R\]
\[B4 = \left(\frac{{9}}{8}, \frac{{15}}{8}\right) + \left(-\frac{{9}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}, -\frac{{3}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}\right)\]
\[B4 = \left(\frac{{9 - 18\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}{8}, \frac{{15 - 6\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}{8}\right)\]

Получаем координаты точки B4((9 - 18sqrt(5/2))/8, (15 - 6sqrt(5/2))/8).

Для точки С4:
\[C4 = M + R\]
\[C4 = \left(\frac{{9}}{8}, \frac{{15}}{8}\right) + \left(-\frac{{9}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}, -\frac{{3}}{4\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}\right)\]
\[C4 = \left(\frac{{9 - 18\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}{8}, \frac{{15 - 6\sqrt{{\frac{{5}}{2}}}}}{8}\right)\]

Получаем координаты точки C4((9 - 18sqrt(5/2))/8, (15 - 6sqrt