Во сколько раз уменьшится площадь круга, если его окружность будет уменьшена в 6 раз?

Алла

60

Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним некоторые свойства круга.

Формула для площади круга - это \(S = \pi \cdot r^2\), где \(S\) обозначает площадь круга, а \(r\) - радиус.

А формула для длины окружности - это \(C = 2\pi \cdot r\), где \(C\) означает длину окружности.

У нас есть окружность, и мы знаем, что длина её окружности уменьшилась в 6 раз.

Пусть \(C_1\) и \(C_2\) будут длинами окружностей до и после уменьшения, соответственно.

Известно, что \(C_2 = \frac{1}{6} \cdot C_1\).

Мы можем найти радиусы окружностей до и после уменьшения, используя формулу для длины окружности:

\(C_1 = 2\pi \cdot r_1\)

\(C_2 = 2\pi \cdot r_2\)

Подставим значение \(C_2\) в уравнение и разделим обе части на \(2\pi\):

\(\frac{1}{6} \cdot C_1 = 2\pi \cdot r_2\)

Теперь, чтобы найти площадь \(S_1\) и \(S_2\) для окружностей до и после уменьшения, мы используем формулу для площади круга:

\(S_1 = \pi \cdot r_1^2\)

\(S_2 = \pi \cdot r_2^2\)

Подставим значение \(r_2\) в уравнение и решим его:

\(\frac{1}{6} \cdot C_1 = 2\pi \cdot r_2\)

Разделим обе части на \(2\pi\):

\(\frac{\frac{1}{6} \cdot C_1}{2\pi} = r_2\)

Упростим выражение:

\(\frac{1}{12} \cdot \frac{C_1}{\pi} = r_2\)

Теперь запишем площади кругов:

\(S_1 = \pi \cdot r_1^2\)

\(S_2 = \pi \cdot \left(\frac{1}{12} \cdot \frac{C_1}{\pi}\right)^2\)

Сократим \(\pi\) и раскроем вторую степень:

\(S_2 = \pi \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot \frac{C_1^2}{\pi^2}\right)\)

Теперь, чтобы найти изменение площади, найдём их отношение:

\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{\pi \cdot \left(\frac{1}{144} \cdot \frac{C_1^2}{\pi^2}\right)}{\pi \cdot r_1^2}\)

Сократим \(\pi\):

\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{1}{144} \cdot \frac{C_1^2}{\pi^2}}{r_1^2}\)

Распишем \(\frac{1}{144}\):

\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{1}{12^2} \cdot \frac{C_1^2}{\pi^2}}{r_1^2}\)

Распишем \(\frac{1}{12^2}\):

\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{\left(\frac{1}{12} \cdot \frac{C_1}{\pi}\right)^2}{r_1^2}\)

Мы уже знаем, что \(\frac{1}{12} \cdot \frac{C_1}{\pi} = r_2\), поэтому можем заменить это значение:

\(\frac{S_2}{S_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\)

Таким образом, мы можем сделать вывод, что изменение площади круга будет равно отношению квадратов радиусов окружностей до и после уменьшения.

При использовании данной формулы и значений, мы можем вычислить точное значение изменения площади круга в данной задаче. Например, если исходная площадь круга была равна 100 единиц, то при уменьшении окружности в 6 раз исходная площадь круга уменьшится в \(\left(\frac{1}{6}\right)^2\) = \(\frac{1}{36}\) раз. Таким образом, площадь круга после уменьшения будет равна \(\frac{100}{36}\) единиц.

Помните, что это лишь один из примеров решения задачи. Используя данное объяснение и формулы, вы можете решить задачу с любыми другими значениями.