1. Напишите уравнение движения x=x(t), если скорость материальной точки меняется по закону v=2+3,5t, и начальная

Магический_Тролль

57

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1. Нам дано, что скорость материальной точки меняется по закону \(v = 2 + 3.5t\), а начальная координата точки равна \(x_0 = 7\) м.

Для нахождения уравнения движения материальной точки \(x = x(t)\) нам необходимо проинтегрировать закон изменения скорости по времени.

Интегрируя \(v\) по \(t\), получаем:

\[\int v \, dt = \int (2 + 3.5t) \, dt\]

\[\Rightarrow x = \int (2 + 3.5t) \, dt\]

\[\Rightarrow x = 2t + \frac{3.5t^2}{2} + C \quad \text{(1)}\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь нам нужно найти значение постоянной \(C\), используя начальное условие \(x_0 = 7\). Подставляя \(t = 0\) и \(x = x_0\) в уравнение (1), мы можем найти \(C\):

\[7 = 2(0) + \frac{3.5(0)^2}{2} + C\]

\[C = 7\]

Таким образом, уравнение движения материальной точки будет:

\[x = 2t + \frac{3.5t^2}{2} + 7\]

Теперь перейдем к следующей задаче.

2. Нам нужно построить график \(v_x = v_x(t)\) для тела, которое начинает равноускоренное движение со скоростью 1 м/с, и через 4 секунды его скорость становится равной 3 м/с. Мы также должны определить ускорение тела и вычислить его перемещение за 2 секунды, используя график.

График \(v_x = v_x(t)\) представляет собой зависимость скорости \(v_x\) от времени \(t\).

Из условия задачи, скорость начальная составляющая \(v_{0x} = 1\) м/с, а через 4 секунды скорость \(v_x\) становится равной 3 м/с.

Ускорение тела (\(a_x\)) может быть определено, используя разницу в скорости и времени:

\[a_x = \frac{{v_x - v_{0x}}}{{t}}\]

\[= \frac{{3 - 1}}{{4}}\]

\[= \frac{{2}}{{4}}\]

\[= 0.5 \, \text{м/c}^2\]

Теперь рассмотрим график \(v_x = v_x(t)\). В начальный момент времени \(t = 0\), скорость равна \(v_{0x} = 1\) м/с.

После 4 секунд скорость достигает значения \(v_x = 3\) м/с. Для построения графика соединим эти две точки прямой линией.


Теперь, используя график, мы можем определить перемещение тела за 2 секунды. Для этого мы должны найти площадь под графиком от \(t = 0\) до \(t = 2\).

Площадь под графиком представляет собой перемещение тела \(x\) за заданное время.

По графику можно заметить, что график является прямоугольником со сторонами \(v_x = 1\) м/с и \(t = 2\) секунды.

Таким образом, перемещение тела за 2 секунды будет равно площади прямоугольника, то есть:

\[x = v_x \cdot t = 1 \, \text{м/с} \cdot 2 \, \text{с} = 2 \, \text{м}\]

Теперь переходим к последней задаче.

3. Нам дан график зависимости \(v_x = v_x(t)\). Мы должны определить проекцию начальной скорости (\(v_{0x}\)), проекцию ускорения (\(a_x\)) и перемещение за первые 4 секунды движения.

Чтобы определить проекцию начальной скорости (\(v_{0x}\)), мы должны найти значение \(v_x\) на графике в начальный момент времени \(t = 0\).

На графике можно увидеть, что при \(t = 0\) значение \(v_x\) равно 1 м/с.

Таким образом, проекция начальной скорости (\(v_{0x}\)) составляет 1 м/с.

Далее, чтобы определить проекцию ускорения (\(a_x\)), мы можем посмотреть на наклон графика в начальный момент времени.

Если график является прямой линией, то проекция ускорения будет постоянной величиной на всем интервале времени.

Если график имеет изгибы, то ускорение будет меняться в зависимости от времени.

В данной задаче график является прямой линией, следовательно, проекция ускорения (\(a_x\)) будет постоянной величиной на всем интервале времени.

Таким образом, чтобы определить \(a_x\), мы можем выбрать любую две точки на графике и рассчитать среднее изменение скорости на единицу времени.

Выберем, например, точку при \(t = 2\) секунды и точку при \(t = 0\) секунд.

\[\text{Среднее изменение скорости} = \frac{{\Delta v_x}}{{\Delta t}} = \frac{{3 - 1}}{{2 - 0}} = \frac{{2}}{{2}} = 1\]

Таким образом, \(a_x = 1\) м/с\(^2\).

Наконец, нам нужно найти перемещение за первые 4 секунды движения.

Для этого мы должны найти площадь под графиком от \(t = 0\) до \(t = 4\).

Аналогично предыдущей задаче, площадь под графиком представляет собой перемещение тела \(x\) за заданное время.

Так как график является прямоугольником со сторонами \(v_x = 1\) м/с и \(t = 4\) секунды, перемещение за первые 4 секунды будет:

\[x = v_x \cdot t = 1 \, \text{м/с} \cdot 4 \, \text{с} = 4 \, \text{м}\]

Это и есть перемещение за первые 4 секунды движения.

Вот, подробные ответы на все задачи.