1. Найдите длину отрезка AB и координаты его середины, если точка A имеет координаты (-3; 2), а точка B имеет

Цветочек

28

Задача 1. Чтобы найти длину отрезка AB, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.

Дано:
Точка A с координатами (-3, 2)
Точка B с координатами (1, -5)

Длина отрезка AB вычисляется следующим образом:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Где \(x_1, y_1\) - координаты точки A, \(x_2, y_2\) - координаты точки B.

Подставляя значения:

\[AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-5 - 2)^2}\]
\[AB = \sqrt{(4)^2 + (-7)^2}\]
\[AB = \sqrt{16 + 49}\]
\[AB = \sqrt{65}\]

Таким образом, длина отрезка AB равна \(\sqrt{65}\).

Чтобы найти координаты середины отрезка AB, мы можем воспользоваться формулами для нахождения среднего значения координат:

\[x_{середина} = \frac{x_1 + x_2}{2}\]
\[y_{середина} = \frac{y_1 + y_2}{2}\]

Подставляя значения:

\[x_{середина} = \frac{-3 + 1}{2}\]
\[x_{середина} = \frac{-2}{2}\]
\[x_{середина} = -1\]

\[y_{середина} = \frac{2 + (-5)}{2}\]
\[y_{середина} = \frac{-3}{2}\]
\[y_{середина} = -\frac{3}{2}\]

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны (-1, -\frac{3}{2}).

Задача 2. Чтобы составить уравнение окружности, где центр находится в точке м, а она проходит через точку К, мы можем использовать формулу окружности:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]

где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус окружности. В нашем случае (h, k) = (1, -3) и проходит через точку К(-4, 2).

Подставляем значения:

\[((x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = r^2)\]

Так как окружность проходит через точку К, то её координаты (-4, 2) должны удовлетворять уравнению:

\[((-4 - 1)^2 + (2 - (-3))^2 = r^2)\]
\[(25 + 25 = r^2)\]
\[50 = r^2\]

Таким образом, уравнение окружности будет:

\[(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50\]

Задача 3. Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойством параллелограмма, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Дано:
Точка A с координатами (-2, 3)
Точка B с координатами (4, 5)
Точка C с координатами (2, 1)

Мы знаем, что сторона AB параллельна стороне CD и сторона BC параллельна стороне DA. Так же известно, что AD и BC имеют общую точку A.

Находим координаты вершины D, используя свойства параллелограмма:
\[x_D = x_B + x_A - x_C\]
\[y_D = y_B + y_A - y_C\]

Подставляем значения:

\[x_D = 4 + (-2) - 2\]
\[x_D = 0\]

\[y_D = 5 + 3 - 1\]
\[y_D = 7\]

Таким образом, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны (0, 7).

Задача 4. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки, мы можем использовать формулу прямой:

\[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\]

Дано:
Точка A с координатами (-2, 3)
Точка B с координатами (4, 5)

Подставляем значения:

\[\frac{y - 3}{5 - 3} = \frac{x - (-2)}{4 - (-2)}\]
\[\frac{y - 3}{2} = \frac{x + 2}{6}\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, будет:

\[3(y - 3) = 2(x + 2)\]