Какова площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания 5 см и высотой 12 см? Каков объем цилиндра? Какова

Морской_Сказочник_4298

34

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы для нахождения площади боковой поверхности и объема цилиндра, а также формулы для нахождения площади полной поверхности и объема призмы.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти с помощью формулы \(S_{\text{бок}} = 2\pi R h\), где \(R\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - его высота. В данной задаче \(R\) равен 5 см, а \(h\) равен 12 см. Подставим значения в формулу и рассчитаем площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi \, \text{см}^2\]

Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра составляет \(120\pi \, \text{см}^2\).

Чтобы найти объем цилиндра, воспользуемся формулой \(V = \pi R^2 h\), где \(V\) - объем, \(R\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - его высота. Подставим значения и рассчитаем объем:

\[V = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = 300\pi \, \text{см}^3\]

Ответ: объем цилиндра составляет \(300\pi \, \text{см}^3\).

Далее нам нужно найти площадь полной поверхности призмы. Учитывая, что высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона основания призмы конгруэнтна стороне квадрата, вписанного в основание цилиндра, мы можем воспользоваться формулой \(S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания призмы, \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь основания призмы равна квадрату стороны основания, поэтому \(S_{\text{осн}} = a^2\), где \(a\) - длина стороны основания цилиндра. В данной задаче сторона основания цилиндра равна 2R, т.к. она конгруэнтна стороне квадрата, вписанного в основание цилиндра. Подставим значения и рассчитаем площадь полной поверхности призмы:

\[S_{\text{полн}} = 2(2R)^2 + 120\pi = 8R^2 + 120\pi\]

Ответ: площадь полной поверхности призмы составляет \(8R^2 + 120\pi \, \text{см}^2\).

Наконец, для нахождения объема призмы воспользуемся формулой \(V = S_{\text{осн}} \cdot h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания призмы, \(h\) - ее высота. Мы уже знаем, что \(S_{\text{осн}} = a^2\) и \(h\) равна высоте цилиндра. Подставим значения и рассчитаем объем призмы:

\[V = (2R)^2 \cdot 12 = 4R^2 \cdot 12 = 48R^2\]

Ответ: объем призмы составляет \(48R^2 \, \text{см}^3\).

Таким образом, мы нашли площадь боковой поверхности цилиндра (\(120\pi \, \text{см}^2\)), объем цилиндра (\(300\pi \, \text{см}^3\)), площадь полной поверхности призмы (\(8R^2 + 120\pi \, \text{см}^2\)) и объем призмы (\(48R^2 \, \text{см}^3\)).