1. Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов равна 250. 2. Найдите большее из двух

Витальевич

11

Sure, let"s solve these problems step by step:

1. Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов равна 250.

Пусть одно из чисел равно $x$, а другое равно $y$.
У нас есть два уравнения:
$$\begin{array}{rl}x+y& =22\text{(1)}\\ x^2+y^2& =250\text{(2)}\end{array}$$

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим $y$:
$$y=22-x$$

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное квадратное уравнение:
$$x^2+(22-x{)}^2=250$$

Раскроем скобки:
$$x^2+484-44x+x^2=250$$

Соберем все члены в одну сторону:
$$2x^2-44x+234=0$$

Разделим все на 2:
$$x^2-22x+117=0$$

Это квадратное уравнение имеет два корня:
$$x_1=9,x_2=13$$

Теперь найдем значения $y$ при каждом из этих корней:
$$y_1=22-x_1=22-9=13$$
$$y_2=22-x_2=22-13=9$$

Таким образом, меньшее из двух чисел равно 9.

2. Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность их квадратов равна 104.

Пусть одно из чисел равно $x$, а другое равно $y$.
У нас есть два уравнения:
$$\begin{array}{rl}x-y& =4\text{(1)}\\ x^2-y^2& =104\text{(2)}\end{array}$$

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим $x$:
$$x=y+4$$

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное линейное уравнение:
$$(y+4{)}^2-y^2=104$$

Раскроем скобки:
$$y^2+8y+16-y^2=104$$

Упростим выражение:
$$8y+16=104$$

Вычтем 16 из обеих частей:
$$8y=88$$

Разделим на 8:
$$y=11$$

Теперь найдем значение $x$ при $y=11$:
$$x=y+4=11+4=15$$

Таким образом, большее из двух чисел равно 15.

3. Найдите сумму квадратов двух чисел, если их среднее арифметическое равно 7, а разность их квадратов равна 56.

Пусть одно из чисел равно $x$, а другое равно $y$.
У нас есть два уравнения:
$$\text{Misplaced \&}$$

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим $y$:
$$x=14-y$$

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное линейное уравнение:
$$(14-y{)}^2-y^2=56$$

Раскроем скобки:
$$196-28y+y^2-y^2=56$$

Упростим выражение:
$$-28y=-140$$

Разделим на -28:
$$y=5$$

Теперь найдем значение $x$ при $y=5$:
$$x=14-y=14-5=9$$

Сумма квадратов двух чисел будет:
$$9^2+5^2=81+25=106$$

Таким образом, сумма квадратов двух чисел равна 106.

4. Найдите два числа, если их среднее арифметическое равно 6 и квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов.

Пусть одно из чисел равно $x$, а другое равно $y$.
У нас есть два уравнения:
$$\text{Misplaced \&}$$

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим $y$:
$$x=12-y$$

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное линейное уравнение:
$$(12-y+y{)}^2+70=(12-y{)}^2+y^2$$

Упростим выражение:
$$144+70=144-24y+y^2+y^2$$

Соберем все члены в одну сторону:
$$48y+214=0$$

Разделим на 48:
$$y+\frac{107}{24}=0$$

Таким образом, уравнение не имеет решений. Задача не имеет решения.

5. Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов больше их произведения на 157.

Пусть первое число равно $x$, а второе число равно $x+1$.
У нас есть уравнение:
$$x^2+(x+1{)}^2>x(x+1)+157$$

Сначала упростим выражение:
$$x^2+x^2+2x+1>x^2+x+157$$

Раскроем скобки:
$$2x^2+2x+1>x^2+x+157$$

Соберем все члены в одну сторону:
$$x^2+x-156>0$$

Это квадратное уравнение имеет два корня:
$$x_1=12,x_2=-13$$

Так как мы ищем натуральные числа, отрицательное значение $x$ не подходит.
Таким образом, два последовательных натуральных числа будут 12 и 13.

6. Найдите квадрат суммы двух чисел, если одно из чисел равно...