1. Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов равна 250. 2. Найдите большее из двух

Витальевич

11

Sure, let"s solve these problems step by step:

1. Найдите меньшее из двух чисел, сумма которых равна 22, а сумма их квадратов равна 250.

Пусть одно из чисел равно \(x\), а другое равно \(y\).
У нас есть два уравнения:
\[\begin{align*}
x + y &= 22 \quad \text{(1)} \\
x^2 + y^2 &= 250 \quad \text{(2)}
\end{align*}\]

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим \(y\):
\[y = 22 - x\]

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное квадратное уравнение:
\[x^2 + (22 - x)^2 = 250\]

Раскроем скобки:
\[x^2 + 484 - 44x + x^2 = 250\]

Соберем все члены в одну сторону:
\[2x^2 - 44x + 234 = 0\]

Разделим все на 2:
\[x^2 - 22x + 117 = 0\]

Это квадратное уравнение имеет два корня:
\[x_1 = 9, \quad x_2 = 13\]

Теперь найдем значения \(y\) при каждом из этих корней:
\[y_1 = 22 - x_1 = 22 - 9 = 13\]
\[y_2 = 22 - x_2 = 22 - 13 = 9\]

Таким образом, меньшее из двух чисел равно 9.

2. Найдите большее из двух чисел, если их разность равна 4, а разность их квадратов равна 104.

Пусть одно из чисел равно \(x\), а другое равно \(y\).
У нас есть два уравнения:
\[\begin{align*}
x - y &= 4 \quad \text{(1)} \\
x^2 - y^2 &= 104 \quad \text{(2)}
\end{align*}\]

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим \(x\):
\[x = y + 4\]

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное линейное уравнение:
\[(y + 4)^2 - y^2 = 104\]

Раскроем скобки:
\[y^2 + 8y + 16 - y^2 = 104\]

Упростим выражение:
\[8y + 16 = 104\]

Вычтем 16 из обеих частей:
\[8y = 88\]

Разделим на 8:
\[y = 11\]

Теперь найдем значение \(x\) при \(y = 11\):
\[x = y + 4 = 11 + 4 = 15\]

Таким образом, большее из двух чисел равно 15.

3. Найдите сумму квадратов двух чисел, если их среднее арифметическое равно 7, а разность их квадратов равна 56.

Пусть одно из чисел равно \(x\), а другое равно \(y\).
У нас есть два уравнения:
\[\begin{align*}
\frac{{x + y}{2}} &= 7 \quad \text{(1)} \\
x^2 - y^2 &= 56 \quad \text{(2)}
\end{align*}\]

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим \(y\):
\[x = 14 - y\]

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное линейное уравнение:
\[(14 - y)^2 - y^2 = 56\]

Раскроем скобки:
\[196 - 28y + y^2 - y^2 = 56\]

Упростим выражение:
\[-28y = -140\]

Разделим на -28:
\[y = 5\]

Теперь найдем значение \(x\) при \(y = 5\):
\[x = 14 - y = 14 - 5 = 9\]

Сумма квадратов двух чисел будет:
\[9^2 + 5^2 = 81 + 25 = 106\]

Таким образом, сумма квадратов двух чисел равна 106.

4. Найдите два числа, если их среднее арифметическое равно 6 и квадрат суммы этих чисел на 70 больше суммы их квадратов.

Пусть одно из чисел равно \(x\), а другое равно \(y\).
У нас есть два уравнения:
\[\begin{align*}
\frac{{x + y}{2}} &= 6 \quad \text{(1)} \\
(x + y)^2 + 70 &= x^2 + y^2 \quad \text{(2)}
\end{align*}\]

Решим систему уравнений:

Мы можем воспользоваться методом замены. В уравнении (1) можно выразить одну из переменных через другую, например, выразим \(y\):
\[x = 12 - y\]

Затем подставим это выражение в уравнение (2) и решим полученное линейное уравнение:
\[(12 - y + y)^2 + 70 = (12 - y)^2 + y^2\]

Упростим выражение:
\[144 + 70 = 144 - 24y + y^2 + y^2\]

Соберем все члены в одну сторону:
\[48y + 214 = 0\]

Разделим на 48:
\[y + \frac{107}{24} = 0\]

Таким образом, уравнение не имеет решений. Задача не имеет решения.

5. Найдите два последовательных натуральных числа, если сумма их квадратов больше их произведения на 157.

Пусть первое число равно \(x\), а второе число равно \(x + 1\).
У нас есть уравнение:
\[x^2 + (x + 1)^2 > x(x + 1) + 157\]

Сначала упростим выражение:
\[x^2 + x^2 + 2x + 1 > x^2 + x + 157\]

Раскроем скобки:
\[2x^2 + 2x + 1 > x^2 + x + 157\]

Соберем все члены в одну сторону:
\[x^2 + x - 156 > 0\]

Это квадратное уравнение имеет два корня:
\[x_1 = 12, \quad x_2 = -13\]

Так как мы ищем натуральные числа, отрицательное значение \(x\) не подходит.
Таким образом, два последовательных натуральных числа будут 12 и 13.

6. Найдите квадрат суммы двух чисел, если одно из чисел равно...