Does the equation cos2x - 5√2cosx - 5 = 0 have solutions in the interval [-3π, -3π/2]?

Georgiy

17

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Первым шагом будет заменить выражение ${\cos }^{2}x$ на $1-{\sin }^{2}x$, используя тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$.

Теперь у нас есть уравнение $(1-{\sin }^{2}x)-5\sqrt{2}\cos x-5=0$.

Чтобы решить это уравнение, давайте использовать подстановку $u=\sin x$. Тогда уравнение примет вид:

$$(1-u^2)-5\sqrt{2}\sqrt{1-u^2}-5=0$$.

Заметим, что мы заменили $\cos x$ на $\sqrt{1-u^2}$, потому что $u=\sin x$.

Теперь это уравнение является квадратным относительно $u$. Приведем его к общему виду:

$$-u^2-5\sqrt{2}\sqrt{1-u^2}-4=0$$.

Давайте обозначим $\sqrt{1-u^2}$ как $v$, чтобы упростить выражение:

$-u^2-5\sqrt{2}v-4=0$.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно $u$. Применим квадратное уравнение ниже:

$$u=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$,

где $a=-1$, $b=-5\sqrt{2}$, и $c=-4$.

Рассчитаем значение под корнем:

$$b^2-4ac=(-5\sqrt{2}{)}^2-4(-1)(-4)=50-16=34$$.

Таким образом, под корнем получаем значение $34$.

Теперь можем рассмотреть два случая:

1) Решаем уравнение $u=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$$u=\frac{-(-5\sqrt{2})+\sqrt{34}}{-2}=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$$.

2) Решаем уравнение $u=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:

$$u=\frac{-(-5\sqrt{2})-\sqrt{34}}{-2}=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}$$.

Таким образом, мы нашли два возможных значения $u$: $\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$ и $\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}$.

Теперь нам нужно найти значения $x$ в интервале $[-3\pi ,-\frac{3\pi }{2}]$, соответствующие этим значениям $u$.

Для этого нам нужно решить уравнения $\sin x=\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$ и $\sin x=\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}$.

Найдем обратный синус для каждого из значений $u$:

1) Для $\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}$:

${\sin }^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}+\sqrt{34}}{2}\right)\approx 0.954$.

2) Для $\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}$:

${\sin }^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{34}}{2}\right)\approx -0.954$.

Таким образом, мы получили два значения $x$: примерно $0.954$ и примерно $-0.954$.

Теперь давайте проверим, попадают ли эти значения $x$ в интервал $[-3\pi ,-\frac{3\pi }{2}]$.

Для этого рассмотрим границы интервала:

$[-3\pi ,-\frac{3\pi }{2}]$ соответствует приблизительно $[-9.425,-4.712]$.

Оба значения $x$ находятся в этом интервале, поэтому уравнение ${\cos }^{2}x-5\sqrt{2}\cos x-5=0$ имеет решения в заданном интервале.

Это все пошаговое решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.