Does the equation cos2x - 5√2cosx - 5 = 0 have solutions in the interval [-3π, -3π/2]?

Georgiy

17

Хорошо, давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Первым шагом будет заменить выражение \(\cos^2{x}\) на \(1 - \sin^2{x}\), используя тригонометрическое тождество \(\cos^2{x} + \sin^2{x} = 1\).

Теперь у нас есть уравнение \((1 - \sin^2{x}) - 5\sqrt{2}\cos{x} - 5 = 0\).

Чтобы решить это уравнение, давайте использовать подстановку \(u = \sin{x}\). Тогда уравнение примет вид:

\[(1 - u^2) - 5\sqrt{2}\sqrt{1 - u^2} - 5 = 0\].

Заметим, что мы заменили \(\cos{x}\) на \(\sqrt{1 - u^2}\), потому что \(u = \sin{x}\).

Теперь это уравнение является квадратным относительно \(u\). Приведем его к общему виду:

\[-u^2 - 5\sqrt{2}\sqrt{1 - u^2} - 4 = 0\].

Давайте обозначим \(\sqrt{1 - u^2}\) как \(v\), чтобы упростить выражение:

\(-u^2 - 5\sqrt{2}v - 4 = 0\).

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(u\). Применим квадратное уравнение ниже:

\[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\],

где \(a = -1\), \(b = -5\sqrt{2}\), и \(c = -4\).

Рассчитаем значение под корнем:

\[b^2 - 4ac = (-5\sqrt{2})^2 - 4(-1)(-4) = 50 - 16 = 34\].

Таким образом, под корнем получаем значение \(34\).

Теперь можем рассмотреть два случая:

1) Решаем уравнение \(u = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):

\[u = \frac{-(-5\sqrt{2}) + \sqrt{34}}{-2} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{34}}{2}\].

2) Решаем уравнение \(u = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):

\[u = \frac{-(-5\sqrt{2}) - \sqrt{34}}{-2} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{34}}{2}\].

Таким образом, мы нашли два возможных значения \(u\): \(\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{34}}{2}\) и \(\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{34}}{2}\).

Теперь нам нужно найти значения \(x\) в интервале \([-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]\), соответствующие этим значениям \(u\).

Для этого нам нужно решить уравнения \(\sin{x} = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{34}}{2}\) и \(\sin{x} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{34}}{2}\).

Найдем обратный синус для каждого из значений \(u\):

1) Для \(\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{34}}{2}\):

\(\sin^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2} + \sqrt{34}}{2}\right) \approx 0.954\).

2) Для \(\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{34}}{2}\):

\(\sin^{-1}\left(\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{34}}{2}\right) \approx -0.954\).

Таким образом, мы получили два значения \(x\): примерно \(0.954\) и примерно \(-0.954\).

Теперь давайте проверим, попадают ли эти значения \(x\) в интервал \([-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]\).

Для этого рассмотрим границы интервала:

\([-3\pi, -\frac{3\pi}{2}]\) соответствует приблизительно \([-9.425, -4.712]\).

Оба значения \(x\) находятся в этом интервале, поэтому уравнение \(\cos^2{x} - 5\sqrt{2}\cos{x} - 5 = 0\) имеет решения в заданном интервале.

Это все пошаговое решение задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.