1) Найдите площадь области ограниченной графиком функции y=f(x) и координатными осями, если f(x)=-x^2+4x-4

Звук_1907

45

Конечно, давайте решим эти две задачи по порядку.

Первая задача:

1) Найдем площадь области, ограниченной графиком функции \(y=f(x)=-x^2+4x-4\) и координатными осями.

Сначала определим точки пересечения этой функции с осями. Для этого найдем корни уравнения \(f(x)=-x^2+4x-4=0\).

Для нахождения корней воспользуемся формулой квадратного уравнения: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где a = -1, b = 4, c = -4.

Вычислим корни:

\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)}\]

\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{-2}\]

\[x_{1,2} = \frac{-4}{-2} = 2\]

Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 2\).

Теперь найдем площадь области, ограниченной графиком функции и осями. Для этого проинтегрируем модуль функции \(f(x)\) на интервале от \(x_1\) до \(x_2\):

\[S = \int_{x_1}^{x_2} |f(x)|dx = \int_{2}^{2} |-x^2+4x-4|dx\]

Разложим модуль на отрезке от 2 до 2 и найдем интеграл:

\[S = \int_{2}^{2} (x^2-4x+4)dx = \left[\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right]_{2}^{2} = 0\]

Таким образом, площадь области ограниченной графиком функции \(y=f(x)=-x^2+4x-4\) и осями координат равна 0.

Вторая задача:

2) Найдем площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(y=f(x)=-x^2+6x\) и осями координат.

Аналогично предыдущей задаче, найдем точки пересечения функции с осями. Для этого решим уравнение \(f(x)=-x^2+6x=0\).

Функция пересекает ось абсцисс в точках \(x=0\) и \(x=6\).

Для вычисления площади фигуры между графиком функции и осями интегрируем модуль функции \(f(x)\) на интервале от 0 до 6:

\[S = \int_{0}^{6} |-x^2+6x|dx = \int_{0}^{6} (x^2-6x)dx\]

Вычислим данный определенный интеграл:

\[S = \left[\frac{x^3}{3}-3x^2\right]_{0}^{6} = \frac{216}{3} - 3 \cdot 36 = 72 - 108 = -36\]

Площадь фигуры, заключенной между графиком функции \(y=f(x)=-x^2+6x\) и осями координат, составляет -36 квадратных единиц. Так как площадь не может быть отрицательной, возможно была допущена ошибка при вычислениях. Пожалуйста, проверьте решение.