1. Найдите расстояние от точки о до середины стороны аб в плоскости треугольника аbс, где ас = bс = 5 и аb

Miroslav

2

Задача 1:
1. Найдем длину отрезка \(ac\) в треугольнике \(ABC\). Из условия задачи \(AC = BC = 5 \, \text{ед.}\).
2. Используем теорему Пифагора для правильного подсчета длины основания треугольника \(ABC\):
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2
\]
\[
AB = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, \text{ед.}
\]
3. Разделим основание пополам, чтобы найти координаты середины стороны \(AB\), будем называть его точкой \(M\). Координаты точек \(A\) и \(B\) в этом случае: \(A(0, 0), B(5\sqrt{2}, 0)\).
Координаты точки \(M\) равны среднему значению координат \(x\) двух точек и среднему значению координат \(y\) двух точек:
\[
M\left(\frac{0 + 5\sqrt{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, 0\right)
\]
Таким образом, координаты точки \(M\) равны \(M\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, 0\right)\).
4. Теперь мы можем найти уравнение прямой \(AP\) через точку \(A(0,0)\) и \(M\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}, 0\right)\):
Уравнение прямой в общем виде:
\[
y = kx + b
\]
где \(k\) - коэффициент наклона, а \(b\) - свободный член.
Сначала найдем коэффициент наклона \(k\):
\[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 0}{\frac{5\sqrt{2}}{2} - 0} = 0
\]
Теперь найдем уравнение прямой, подставив в него координаты точки \(A(0,0)\):
\[
y = 0 \cdot x + b
\]
\[
b = y = 0
\]
Следовательно, уравнение прямой \(AP\) есть \(y = 0\).
5. Далее найдем точку пересечения прямой \(AP\) и прямой \(OC\). Из условия \(OC = 4\), а уравнение прямой \(OC\) есть \(y = 0\), так как она параллельна оси \(X\).
6. Точка пересечения прямой \(AP\) и \(OC\) есть точка, в которой \(y = 0\) и \(x\) равен координате \(OC\), то есть \(x = 4\). Следовательно, точка \(O\) имеет координаты \(O(4, 0)\).
7. Найдем длину отрезка \(OP\) (расстояние от точки \(O\) до середины стороны \(AB\)):
\[
OP = \sqrt{(4 - \frac{5\sqrt{2}}{2})^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(4 - \frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - 20\sqrt{2} + \frac{50}{2}} = \sqrt{2}
\]
Ответ: Расстояние от точки \(O\) до середины стороны \(AB\) равно \(\sqrt{2}\) единицы.

Задача 2:
1. Найдем площадь основания пирамиды \(PABC\). Площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) равна \(\frac{5 \cdot 12}{2} = 30 \, \text{ед.}^2\).
2. Так как боковая грань \(PAB\) перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды равна длине опущенной высоты из вершины \(P\) на основание. Площадь боковой грани \(PAB\) равна \(65 \, \text{ед.}^2\).
3. Для нахождения высоты пирамиды \(PH\) (где \(H\) - основание перпендикуляра из \(P\) на плоскость основания) воспользуемся формулой для площади боковой поверхности пирамиды:
\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр} \cdot PH
\]
где \(\text{периметр}\) - периметр основания, а \(PH\) - искомая высота.
4. Подставляем известные значения:
\[
65 = \frac{1}{2} \cdot (5 + 12 + 13) \cdot PH
\]
\[
65 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot PH
\]
\[
65 = 15 \cdot PH
\]
\[
PH = \frac{65}{15} = \frac{13}{3} \, \text{ед.}
\]
Ответ: Высота пирамиды в основании \(PABC\) равна \(\frac{13}{3}\) единицы.

Задача 3:
1. Так как параллелограмм \(ABCD\) является прямоугольником в плоскости \(ABNM\), то это значит, что стороны \(AB\) и \(BC\) параллельны сторонам \(AM\) и \(BN\) соответственно, и угол \(ADC\) является прямым.
2. Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны, то это означает, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости \(\beta\), и их пересечение будет образовывать прямой угол между собой.
3. Следовательно, параллелограмм \(ABCD\) действительно является прямоугольником, так как его угол \(ADC\) прямой, а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны.