1. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда, основой которого является квадрат, если диагональ равна 26

Николаевич

70

Задача 1. Для начала найдём длину ребра квадрата основания прямоугольного параллелепипеда. Пусть это значение равно \( a \). Так как соотношение измерений составляет 1:1:2, то длина противоположной стороны прямоугольного параллелепипеда будет равна \( 2a \).

Мы знаем, что диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 26 см. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Так как у нас квадратное основание, то диагональ будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника и её длина равна 26 см.

Применим теорему Пифагора и запишем уравнение:
\[ a^2 + (2a)^2 = 26^2 \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[ a^2 + 4a^2 = 676 \]
\[ 5a^2 = 676 \]
\[ a^2 = \frac{676}{5} \]
\[ a^2 = 135.2 \]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:
\[ a = \sqrt{135.2} \approx 11.629 \]

Таким образом, длина ребра квадрата основания параллелепипеда примерно равна 11.629 см, а длина противоположной стороны равна \( 2 \cdot 11.629 \approx 23.258 \) см.

Задача 2. Для ответа на этот вопрос нам понадобится знание геометрии и тригонометрии. У нас есть параллелепипед со сторонами \( a, a \) и \( 2a \), а также его диагональю \( d \), которая равна 26 см.

Перейдем к плоскости основания параллелепипеда. Угол между диагональю параллелепипеда и основанием - это угол между диагональю и одной из его сторон. Можем использовать понятие синуса угла, так как нам даны противоположные и гипотенуза в прямоугольном треугольнике.

Синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:
\[ \sin(\alpha) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{гипотенуза}}} \]

В нашем случае, противолежащим катетом является длина ребра \( a \), а гипотенузой — длина диагонали \( d \), которая равна 26 см. Таким образом, синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания будет равен:
\[ \sin(\alpha) = \frac{a}{d} = \frac{a}{26} \]

Так как нам уже известно значение ребра \( a = 11.629 \) см, подставим его в формулу и выполним вычисления:
\[ \sin(\alpha) = \frac{11.629}{26} \approx 0.447 \\]

Таким образом, синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания составляет примерно 0.447.