1. Найдите результат скалярного произведения векторов ab⋅ad−→−, данного правильного шестиугольника, состоящего из шести

Сергеевич

70

Шестигранник, состоящий из шести правильных треугольников со стороной 24 см, выглядит следующим образом:

\[
\begin{{array}}{{cccccc}}
& & & a & & \\
& & \swarrow & & \searrow & \\
& b & & & & c \\
& & \searrow & & \swarrow & \\
& & & d & &
\end{{array}}
\]

Для решения первой задачи, найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{{ab}}\) и \(\overrightarrow{{ad}}\).
Скалярное произведение двух векторов \(\overrightarrow{{u}}\) и \(\overrightarrow{{v}}\) вычисляется по формуле:

\[
\overrightarrow{{u}} \cdot \overrightarrow{{v}} = \|\overrightarrow{{u}}\| \cdot \|\overrightarrow{{v}}\| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(\|\overrightarrow{{u}}\|\) - длина вектора \(\overrightarrow{{u}}\), \(\|\overrightarrow{{v}}\|\) - длина вектора \(\overrightarrow{{v}}\), а \(\theta\) - угол между ними.

В данной задаче сторона треугольника равна 24 см, следовательно длина вектора \(\overrightarrow{{ab}}\) равна 24 см, а длина вектора \(\overrightarrow{{ad}}\) также равна 24 см.

Учитывая, что векторы \(\overrightarrow{{ab}}\) и \(\overrightarrow{{ad}}\) образуют угол 120°, то угол \(\theta\) в формуле равен 120°.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:

\[
\overrightarrow{{ab}} \cdot \overrightarrow{{ad}} = 24 \cdot 24 \cdot \cos(120°)
\]

\[
= 576 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

\[
= -288
\]

Ответ первой задачи: скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{{ab}}\) и \(\overrightarrow{{ad}}\) равно -288.

Для второй задачи, найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{{oa}}\) и \(\overrightarrow{{ob}}\).

Эти векторы образуют угол 60° друг с другом, исходя из диаграммы шестиугольника. Сторона треугольника равна 24 см.

Таким образом, у нас имеем:

\[
\overrightarrow{{oa}} \cdot \overrightarrow{{ob}} = 24 \cdot 24 \cdot \cos(60°)
\]

\[
= 576 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)
\]

\[
= 288
\]

Ответ второй задачи: скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{{oa}}\) и \(\overrightarrow{{ob}}\) равно 288.

Для третьей задачи, найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{{ab}}\) и \(\overrightarrow{{af}}\).

Обратите внимание, что эти два вектора являются соседними сторонами правильного шестиугольника.

Следовательно, векторы \(\overrightarrow{{ab}}\) и \(\overrightarrow{{af}}\) образуют угол 120° и имеют одинаковую длину 24 см.

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение:

\[
\overrightarrow{{ab}} \cdot \overrightarrow{{af}} = 24 \cdot 24 \cdot \cos(120°)
\]

\[
= 576 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]

\[
= -288
\]

Ответ третьей задачи: скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{{ab}}\) и \(\overrightarrow{{af}}\) равно -288.