1) Найдите точки пересечения параболы y=x^2-6x+5 и прямой y=3x-3. 2) Определите координаты точек пересечения окружности

Svetlyachok_V_Lesu

53

Конечно, вот пошаговое решение для каждой из задач:

1) Нахождение точек пересечения параболы и прямой:

Парабола задана уравнением \(y=x^2-6x+5\) и прямая уравнением \(y=3x-3\). Чтобы найти точки пересечения, мы должны приравнять уравнения параболы и прямой:

\[x^2-6x+5 = 3x-3\]

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[x^2 - 9x + 8 = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a=1\), \(b=-9\), и \(c=8\).

\[D = (-9)^2 - 4*1*8 = 81 - 32 = 49\]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два корня:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 7}{2} = \begin{cases} x_1 = 8, \\ x_2 = 1. \end{cases}\]

Теперь найдем соответствующие у значения y, подставив \(x\) в уравнение прямой \(y=3x-3\):

Для \(x=8\), \(y=3*8-3 = 21\), точка пересечения: \(P_1(8, 21)\)

Для \(x=1\), \(y=3*1-3 = 0\), точка пересечения: \(P_2(1, 0)\)

Итак, точки пересечения параболы и прямой: \(P_1(8, 21)\) и \(P_2(1, 0)\)

2) Нахождение точек пересечения окружности и прямой:

Окружность задана уравнением \(x^2 + y^2 = 16\) и прямая уравнением \(y = x + 4\). Чтобы найти точки пересечения, подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

\[x^2 + (x+4)^2 = 16\]

Развернем скобки и приведем подобные члены:

\[x^2 + x^2 + 8x + 16 = 16\]

Сгруппируем члены и приведем к квадратному уравнению:

\[2x^2 + 8x = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[2x(x + 4) = 0\]

Таким образом, получаем два корня:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = -4\]

Подставим найденные значения \(x\) в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Для \(x=0\), \(y=0+4 = 4\), точка пересечения: \(Q_1(0, 4)\)

Для \(x=-4\), \(y=-4+4 = 0\), точка пересечения: \(Q_2(-4, 0)\)

Таким образом, точки пересечения окружности и прямой: \(Q_1(0, 4)\) и \(Q_2(-4, 0)\)