1. Найдите третью сторону и два других угла треугольника, в котором две стороны равны 13 см и 3 корня из 75, а угол

Vodopad

5

12 см.
Давайте начнем с первой задачи. У нас есть треугольник, в котором две стороны равны 13 см и \(3\sqrt{75}\), а угол противолежащий большей стороне равен 120 градусам.

Чтобы найти третью сторону треугольника, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Данная теорема позволяет найти длину третьей стороны треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.
Формула для теоремы косинусов выглядит следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot\cos(C)\]

Где c - третья сторона треугольника, a и b - длины двух других сторон, C - угол между этими сторонами.

В нашей задаче, мы знаем длины двух сторон: a = 13 см и b = \(3\sqrt{75}\) (для упрощения давайте найдем значение корня: \(\sqrt{75} = 5\sqrt{3}\)). Также, нам дан угол С = 120 градусов.

Подставляя известные значения в формулу теоремы косинусов, получаем:

\[c^2 = 13^2 + (3\sqrt{75})^2 - 2\cdot13\cdot (3\sqrt{75})\cdot\cos(120)\]

Для удобства вычислений, можно упростить формулу, заметив, что \(\cos(120) = -\frac{1}{2}\):

\[c^2 = 169 + 9\cdot75 - 78\sqrt{75}\]

\[c^2 = 169 + 675 - 78\sqrt{75} = 844 - 78\sqrt{75}\]

Таким образом, длина третьей стороны треугольника равна \(\sqrt{844 - 78\sqrt{75}}\) см.

Чтобы найти два других угла треугольника, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Данная теорема позволяет найти меру углов треугольника, зная длины его сторон.

Формула для теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Где a, b, c - стороны треугольника, A, B, C - углы противолежащие этим сторонам.

Подставляя известные значения в формулу теоремы синусов, получаем:

\[\frac{13}{\sin(A)} = \frac{3\sqrt{75}}{\sin(B)} = \frac{\sqrt{844 - 78\sqrt{75}}}{\sin(C)}\]

Теперь, нам нужно найти два угла A и B, используя данную формулу. Давайте начнем с нахождения угла A:

\[\sin(A) = \frac{13}{\frac{3\sqrt{75}}{\sin(B)}} = \frac{13\sin(B)}{3\sqrt{75}}\]

Теперь, нам нужно использовать теорему синусов для объяснения нахождения угла B:

\[\frac{13}{\sin(A)} = \frac{\sqrt{844 - 78\sqrt{75}}}{\sin(C)}\]

Теперь, зная угол B, мы можем найти угол C, пользуясь теоремой синусов:

\[\sin(C) = \frac{\sqrt{844 - 78\sqrt{75}}}{\frac{13}{\sin(A)}} = \sin(A)\frac{\sqrt{844 - 78\sqrt{75}}}{13}\]

Таким образом, мы нашли третью сторону треугольника, а также два других угла.