1. Найдите вектор, начинающийся в точке b1 и равный сумме векторов da и aa1. 2. В правильном тетраэдре dabc с ребром

Sofiya

3

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Чтобы найти вектор, начинающийся в точке \(b1\) и равный сумме векторов \(da\) и \(aa1\), нужно сложить координаты этих векторов. Предположим, что вектор \(da\) имеет координаты \((x_1, y_1, z_1)\), а вектор \(aa1\) имеет координаты \((x_2, y_2, z_2)\). Тогда вектор \(b1\) суммирующий эти два вектора будет иметь координаты \((x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)\).

2. а) Чтобы найти центр треугольника \(abc\) в правильном тетраэдре \(dabc\) с ребром \(a\), нужно построить вектор \(0.5(db + dc) - do\) и найти его длину. Предположим, что векторы \(db\) и \(dc\) имеют координаты \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\), а вектор \(do\) имеет координаты \((x_3, y_3, z_3)\). Тогда вектор \(0.5(db + dc) - do\) будет иметь координаты \((0.5x_1 + 0.5x_2 - x_3, 0.5y_1 + 0.5y_2 - y_3, 0.5z_1 + 0.5z_2 - z_3)\). Длину этого вектора можно найти с помощью формулы \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x\), \(y\) и \(z\) - координаты вектора, в нашем случае получится \(\sqrt{(0.5x_1 + 0.5x_2 - x_3)^2 + (0.5y_1 + 0.5y_2 - y_3)^2 + (0.5z_1 + 0.5z_2 - z_3)^2}\).

б) Чтобы найти модуль вектора \(0.5dc - do\), нужно вычислить его длину. Вектор \(0.5dc - do\) имеет координаты \((0.5x_2 - x_3, 0.5y_2 - y_3, 0.5z_2 - z_3)\). Длину этого вектора можно также найти по формуле \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\), где \(x\), \(y\) и \(z\) - координаты вектора, в нашем случае получится \(\sqrt{(0.5x_2 - x_3)^2 + (0.5y_2 - y_3)^2 + (0.5z_2 - z_3)^2}\).

3. Пусть точка \(о\) не находится в плоскости параллелограмма \(abcd\). Чтобы разложить вектор \(oc\) на векторы \(ab\), \(bc\) и \(ao\), нужно вычислить сумму векторов этих отдельных отрезков. Вектор \(ab\) можно просто взять равным \(-ba\) (то есть вектор, обратный вектору \(ba\)), а вектор \(bc\) можно взять равным \(-cb\). Тогда вектор \(oc\) будет равен сумме векторов \(ab\), \(bc\) и \(ao\), то есть \(oc = (-ba) + (-cb) + ao\).

4. Чтобы доказать, что векторы \(ac\), \(bd\) и \(a1b1\) являются коллинеарными, нужно показать, что можно получить один из этих векторов при умножении другого вектора на некоторое число. Например, чтобы показать, что вектор \(ac\) и вектор \(bd\) коллинеарны, можно установить, что \(ac = k \cdot bd\), где \(k\) - некоторое число. Аналогично, чтобы показать, что вектор \(ac\) и вектор \(a1b1\) коллинеарны, можно установить, что \(ac = m \cdot a1b1\), где \(m\) - некоторое число. Однако, чтобы доказать, что векторы \(bd\) и \(a1b1\) коллинеарны, нужно построить их векторное произведение и убедиться, что оно равно нулевому вектору. Если векторное произведение равно нулю, то векторы коллинеарны.