Какова длина диагоналей параллелограмма с равными сторонами в 8 см и углом между ними 120°?

Mishutka_1483

66

Чтобы найти длину диагоналей параллелограмма, мы можем использовать теорему косинусов. Эта теорема устанавливает связь между длинами сторон треугольника и косинусами его углов.

Давайте рассмотрим параллелограмм, у которого все стороны равны 8 см. Поскольку у нас есть равные стороны, это значит, что углы при противоположных сторонах также равны. Таким образом, у нас есть пара углов по 120° каждый и пара углов по 60° каждый.

Чтобы найти длину диагоналей, нам понадобятся значения косинусов этих углов. Мы знаем, что косинусы углов 60° и 120° равны -0.5 и -0.5 соответственно. Это можно узнать, изучая таблицу косинусов или с использованием калькулятора.

Теперь мы можем применить теорему косинусов к каждой диагонали параллелограмма. Пусть \(d_1\) и \(d_2\) обозначают длины диагоналей параллелограмма. Мы можем записать теорему косинусов для первой диагонали следующим образом:

\[d_1^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120°)\]

Подставив значения, мы получим:

\[d_1^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-0.5)\]
\[d_1^2 = 128 + 64\]
\[d_1^2 = 192\]

Чтобы найти длину самой диагонали \(d_1\), возьмем квадратный корень из обеих сторон:

\[d_1 = \sqrt{192}\]
\[d_1 \approx 13.86\, см\]

Мы можем применить ту же формулу для второй диагонали и получить:

\[d_2 = \sqrt{192}\]
\[d_2 \approx 13.86\, см\]

Таким образом, длины обеих диагоналей параллелограмма равны примерно 13.86 см.