1) Найдите восьмой член и общую сумму первых восьми членов арифметической прогрессии (а), если а = 1 и а₈

Морской_Корабль

50

Шаг 1: Найдите шаг арифметической прогрессии (а).
Используя формулу для n-го члена арифметической прогрессии:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии и \(d\) - шаг прогрессии.

В данной задаче, \(a_1 = 1\) и \(a_8 = 4\).
Мы хотим найти восьмой член прогрессии и шаг прогрессии (d).

Подставляя значения, мы получим:
\[ a_8 = 1 + 7d = 4 \]

Теперь решим уравнение относительно d:
\[ 7d = 4 - 1 \]
\[ 7d = 3 \]
\[ d = \frac{3}{7} \]

Шаг 2: Найдите восьмой член (a₈) арифметической прогрессии.
Используя формулу для n-го члена арифметической прогрессии:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Подставляя значения, мы получим:
\[ a_8 = 1 + (8-1)\left(\frac{3}{7}\right) = \frac{22}{7} \]

Шаг 3: Найдите общую сумму первых восьми членов арифметической прогрессии.
Используя формулу для суммы n-членов арифметической прогрессии:
\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
где \(S_n\) - общая сумма n членов прогрессии.

Подставляя значения, мы получим:
\[ S_8 = \frac{8}{2}\left(1 + \frac{22}{7}\right) = \frac{80}{7} \]

Ответ:
1) Восьмой член арифметической прогрессии равен \(\frac{22}{7}\).
Общая сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна \(\frac{80}{7}\).

Шаг 1: Найдите знаменатель геометрической прогрессии (b).
Используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \]
где \(b_n\) - n-й член прогрессии, \(b_1\) - первый член прогрессии и \(r\) - знаменатель прогрессии.

В данной задаче, \(b_1 = 3\).
Мы хотим найти знаменатель прогрессии (r) и четвёртый член прогрессии (b₄).

Подставляя значения, мы получим:
\[ b_4 = 3 \cdot r^{4-1} = 3r^3 \]

Шаг 2: Найдите четвёртый член (b₄) геометрической прогрессии.
Используя формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \]

Подставляя значения, мы получим:
\[ b_4 = 3 \cdot r^{4-1} = 3r^3 \]

Шаг 3: Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.
Используя формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = \frac{{b_1 \cdot (r^n - 1)}}{{r-1}} \]
где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии.

Подставляя значения, мы получим:
\[ S_5 = \frac{{3 \cdot (r^5 - 1)}}{{r-1}} \]

Ответ:
2) Четвёртый член геометрической прогрессии равен \(3r^3\).
Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна \(\frac{{3 \cdot (r^5 - 1)}}{{r-1}}\).

Шаг 1: Найдите знаменатель геометрической прогрессии (r).
В данной задаче, имеется бесконечная геометрическая прогрессия:
\[ 64, 32, -16, ... \]
Чтобы найти знаменатель (r), мы можем поделить каждый член на предыдущий член:
\[ r = \frac{{32}}{{64}} = \frac{1}{2} \]
\[ r = \frac{{-16}}{{32}} = -\frac{1}{2} \]

Мы получили два возможных значения для знаменателя (r).

Ответ:
3) Сумма бесконечной геометрической прогрессии не существует, так как знаменатель (r) имеет два возможных значения: \(\frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2}\).

Шаг 1: Найдите шаг арифметической прогрессии (d).
Используя формулу для n-го члена арифметической прогрессии:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
где \(a_n\) - n-й член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии и \(d\) - шаг прогрессии.

В данной задаче, \(a_1 = 2\), \(a = 3.6\) и \(d = 0.2\).
Мы хотим найти порядковый номер члена прогрессии (n).

Подставляя значения, мы получим:
\[ 3.6 = 2 + (n-1) \cdot 0.2 \]

Теперь решим уравнение относительно n:
\[ 3.6 - 2 = (n-1) \cdot 0.2 \]
\[ 1.6 = 0.2n - 0.2 \]
\[ 1.6 + 0.2 = 0.2n \]
\[ 1.8 = 0.2n \]
\[ n = \frac{1.8}{0.2} \]
\[ n = 9 \]

Ответ:
4) Порядковый номер члена арифметической прогрессии, равного 3.6, равен 9.

Шаг 1: Найдите знаменатель геометрической прогрессии (r).
В данной задаче, нам даны два числа в геометрической прогрессии: 8 и -64.

Чтобы найти знаменатель (r), мы можем поделить каждый член на предыдущий член:
\[ r = \frac{{-64}}{{8}} = -8 \]

Шаг 2: Найдите два числа, которые нужно вставить между 8 и -64.
Чтобы найти пропущенные числа, мы можем умножить каждое число на знаменатель (r):
\[ 8 \cdot (-8) = -64 \]

Таким образом, между 8 и -64 не требуется вставлять никаких дополнительных чисел, так как они уже образуют геометрическую прогрессию.

Ответ:
5) Не требуется вставлять никакие числа между 8 и -64, так как они уже образуют геометрическую прогрессию.

Шаг 1: Разберемся с математическим выражением.
Дано: \(3x - 2, x + 2\)

Мы должны найти значение \(x\), при котором \(3x - 2\) равно \(x + 2\).

Решим уравнение:
\[3x - 2 = x + 2\]
\[3x - x = 2 + 2\]
\[2x = 4\]
\[x = \frac{4}{2}\]
\[x = 2\]

Ответ:
6) При x = 2 значение выражения \(3x - 2\) равно \(x + 2\).