Найдите значение выражения 2sin (-п/4) + 2cos(-30градусов) - tg (-п/3) + ctg (-п/2

Miroslav_9035

59

Конечно! Давайте начнем с рассмотрения каждого слагаемого по отдельности.

1. Выражение \(2\sin(-\pi/4)\):
Мы знаем, что синус угла -\(\pi/4\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике с углом -\(\pi/4\). Так как угол находится в третьем квадранте, противолежащий катет будет положительным, а гипотенуза - отрицательной. Поэтому \(\sin(-\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Умножаем это значение на 2: \(2\sin(-\pi/4) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\).

2. Выражение \(2\cos(-30^\circ)\):
Косинус угла -30° равен отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике с углом -30°. В третьем квадранте, где находится данный угол, прилежащий катет будет положительным, а гипотенуза - отрицательной. Таким образом, \(\cos(-30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Умножаем это значение на 2: \(2\cos(-30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. Выражение \(\tan(-\pi/3)\):
Тангенс угла -\(\pi/3\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике с углом -\(\pi/3\). В третьем квадранте, противолежащий катет будет положительным, а прилежащий катет - отрицательным. Получается, что \(\tan(-\pi/3) = -\sqrt{3}\).

4. Выражение \(\cot(-\pi/2)\):
Котангенс угла -\(\pi/2\) равен обратному значению тангенса этого угла \(\cot(-\pi/2) = \frac{1}{\tan(-\pi/2)}\). Так как второй тангенс находится во втором квадранте, он будет равен \(\tan(-\pi/2) = -\infty\). Поскольку деление на бесконечность не определено, выражение \(\cot(-\pi/2)\) будет равно 0.

Теперь, когда мы знаем значения каждого слагаемого, подставим их в исходное выражение:

\[
2\sin(-\pi/4) + 2\cos(-30^\circ) - \tan(-\pi/3) + \cot(-\pi/2) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\sqrt{3}) + 0
\]

Можно произвести необходимые вычисления:

\[
2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\sqrt{3}) + 0 = \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}
\]

Итак, значение данного выражения равно \(2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}\).