1. Найдите значение функции f(x) = 4x–1 при x = –3 и найдите корни функции. 2. Постройте график функции y= (x – 3)2

Pugayuschiy_Lis

32

Хорошо! Для начала, давайте решим первую задачу.

1. Найдем значение функции \(f(x) = 4x-1\) при \(x = -3\).
Подставим данное значение \(x\) в функцию и выполняем вычисления:
\(f(-3) = 4 * (-3) - 1 = -12 - 1 = -13\).
Таким образом, значение функции \(f(x)\) при \(x = -3\) равно \(-13\).

Теперь найдем корни функции \(f(x)\) (то есть значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\)).
Для этого приравняем функцию к нулю и решим полученное уравнение:
\(4x-1 = 0\).
Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
\(4x = 1\).
Затем разделим обе стороны на 4:
\(x = \frac{1}{4}\).
Таким образом, корень функции \(f(x)\) равен \(\frac{1}{4}\).

Приступим к решению второй задачи.

2. Построим график функции \(y = (x - 3)^2 - 2\). Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции, найдем вершины параболы и оценим ее дальнейшее поведение.

Функция \(y = (x - 3)^2 - 2\) имеет вид параболы, открывающейся вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положительный.
Для начала найдем координаты вершины параболы. Для этого используем формулы:
x-координата вершины: \(x = -\frac{b}{2a}\),
y-координата вершины: \(y = f\left(-\frac{b}{2a}\right)\).

В данной функции коэффициент при \(x\) равен 1, коэффициент при \(x^2\) равен 1, а свободный член равен -2.
Подставим эти значения в формулы и выполняем вычисления:
\(x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}\),
\(y = f\left(-\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2} - 3\right)^2 - 2 = \left(-\frac{7}{2}\right)^2 - 2 = \frac{49}{4} - 2 = \frac{49 - 8}{4} = \frac{41}{4}\).

Таким образом, вершина параболы находится в точке \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{41}{4}\right)\).

Теперь проанализируем график функции. Так как парабола открывается вверх и ее вершина находится выше оси \(x\), функция возрастает при \(x < -\frac{1}{2}\), т.е., на интервале \((-\infty, -\frac{1}{2})\).
Аналогичным образом, функция убывает при \(x > -\frac{1}{2}\), т.е., на интервале \((-\frac{1}{2}, +\infty)\).

Переходим к третьей задаче.

3.а) Решим уравнение \(3x^2 - x^3 = 0\).
Вынесем общий множитель \(x^2\) из левой части уравнения:
\(x^2(3 - x) = 0\).

Очевидно, что одним из решений данного уравнения является \(x = 0\), так как при подстановке получаем \(0 = 0\).

Далее рассмотрим скобку \(3 - x\).
Решим уравнение \(3 - x = 0\):
\(x = 3\).

Таким образом, получаем два решения: \(x = 0\) и \(x = 3\).

3.б) Решим уравнение \(x^4 - 7x^2 + 12 = 0\).
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно \(x^2\):
\((x^2)^2 - 7x^2 + 12 = 0\).

Проведем замену переменной: \(t = x^2\).
После замены, уравнение примет вид:
\(t^2 - 7t + 12 = 0\).

Решим полученное квадратное уравнение.
Найдем его корни, используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 12\):
\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\).

Так как дискриминант \(D\) положительный, у уравнения два различных корня.
Используя формулу \(t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), найдем значения корней:
\(t_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = 4\),
\(t_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = 3\).

Теперь вернемся к исходной переменной \(x\).
Найдем корни уравнения \(x^2 = t_1\):
\(x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{4} = 2\),
\(x_2 = -\sqrt{t_1} = -\sqrt{4} = -2\).

И также найдем корни уравнения \(x^2 = t_2\):
\(x_3 = \sqrt{t_2} = \sqrt{3}\),
\(x_4 = -\sqrt{t_2} = -\sqrt{3}\).

Итак, мы получили четыре корня: \(x = 2\), \(x = -2\), \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\).

Перейдем к решению четвертой задачи.

4.а) Решим неравенство \((x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0\).
Для начала найдем значения \(x\), при которых выражение \((x + 2)(x - 1)(x - 4) = 0\). Это будут так называемые "особые точки", при которых выражение меняет знак.

Решим уравнение \((x + 2)(x - 1)(x - 4) = 0\).
Используем свойство нулевого произведения:
\(x + 2 = 0\) или \(x - 1 = 0\) или \(x - 4 = 0\).
Таким образом, особыми точками являются: \(x = -2\), \(x = 1\) и \(x = 4\).

Чтобы определить знак выражения \((x + 2)(x - 1)(x - 4)\) вне особых точек, можно использовать таблицу знаков.
Разобьем числовую прямую на четыре интервала:
\(x < -2\), \(-2 < x < 1\), \(1 < x < 4\) и \(x > 4\).

Подставим значения из каждого интервала в исходное выражение и определим его знак:
- Для интервала \(x < -2\): \((-)(-)(-) = -\).
- Для интервала \(-2 < x < 1\): \((+)(-)(-) = +\).
- Для интервала \(1 < x < 4\): \((+)(+)(-) = -\).
- Для интервала \(x > 4\): \((+)(+)(+) = +\).

Таким образом, исходное неравенство \((x + 2)(x - 1)(x - 4) > 0\) выполняется на интервалах \((-2, 1)\) и \((4, +\infty)\).

4.б) Решим неравенство \(x^2 - 14x + 24 \leq 0\).
Для начала найдем значения \(x\), при которых выражение \(x^2 - 14x + 24 = 0\). Это будут так называемые "особые точки", при которых выражение равно нулю.

Решим уравнение \(x^2 - 14x + 24 = 0\).
Для решения данного квадратного уравнения можно использовать факторизацию или квадратное уравнение.
Оба метода дают следующее решение: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 12\).

Чтобы определить знак выражения \(x^2 - 14x + 24\) вне особых точек, можно использовать таблицу знаков.
Разобьем числовую прямую на три интервала:
\(x < 2\), \(2 < x < 12\) и \(x > 12\).

Подставим значения из каждого интервала в исходное выражение и определим его знак:
- Для интервала \(x < 2\): \((+)(+)(+) = +\).
- Для интервала \(2 < x < 12\): \((+)(-)(+) = -\).
- Для интервала \(x > 12\): \((+)(+)(+) = +\).

Таким образом, исходное неравенство \(x^2 - 14x + 24 \leq 0\) выполняется на интервале \([2, 12]\).

Это были подробные решения задач. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!