1. Найдите значение функции при заданных значениях аргумента: а) y = корень 2lgx, при x = 100; б) f(x

Тимур

61

Хорошо, давайте начнем с задачи номер 1.

1. а) Мы должны найти значение функции \(y\) при \(x = 100\) для функции \(y = \sqrt{2\lg{x}}\).

Для начала, вычислим значение логарифма по основанию 2 для \(x = 100\):
\[
\lg{100} = \log_2{100} = \frac{{\log{100}}}{{\log{2}}} \approx \frac{{2}}{{0.301}} \approx 6.64
\]

Теперь, найдем значение функции \(y\):
\[
y = \sqrt{2 \cdot 6.64} \approx \sqrt{13.28} \approx 3.64
\]

Таким образом, при \(x = 100\) значение функции \(y\) равно примерно 3.64.

1. б) Теперь рассмотрим функцию \(f(x) = \log_3{(\cot{\frac{\pi}{4}})}\) при \(x = 3\).

Для начала, вычислим значение котангенса \(\frac{\pi}{4}\):
\[
\cot{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\tan{\frac{\pi}{4}}} = \frac{1}{1} = 1
\]

Теперь, найдем значение функции \(f(x)\):
\[
f(3) = \log_3{1} = 0
\]

Значение функции \(f(x)\) при \(x = 3\) равно 0.

1. в) Теперь рассмотрим функцию \(y = \sin{(7^{\sin{(\pi x)}})}\) при \(x = \pi\).

Заметим, что \(\sin{(\pi x)} = \sin{(1 \cdot \pi)} = 0\), так как синус нуля равен нулю.

Теперь, найдем значение функции \(y\):
\[
y = \sin{(7^0)} = \sin{1} \approx 0.841
\]

Таким образом, при \(x = \pi\) значение функции \(y\) равно примерно 0.841.

Перейдем к задаче номер 2.

2. Функция \(f(g(h(x))) = \log_2{(\sin{(x^3)})}\) является сложной функцией. Нам нужно найти элементарные функции \(f(x)\), \(g(x)\) и \(h(x)\), с помощью которых можно записать данную сложную функцию.

- Функция \(f(x)\): \(f(x) = \log_2{(x)}\) является элементарной функцией, так как это логарифм по основанию 2.
- Функция \(g(x)\): \(g(x) = \sin{(x^3)}\) является элементарной функцией, так как это синус от куба аргумента.
- Функция \(h(x)\): \(h(x) = x\) является элементарной функцией, так как это просто идентичная функция.

Таким образом, сложная функция \(f(g(h(x)))\) может быть записана с использованием элементарных функций следующим образом: \(f(x) = \log_2{(g(h(x)))} = \log_2{(\sin{(x^3)})}\).

Перейдем к задаче номер 3.

3. а) Для данного задания нам нужно выразить сложные функции \(f(g(h(x)))\), \(g(f(x))\) и \(f(g(h(x)))\) с использованием элементарных функций \(f(x)\), \(g(x)\) и \(h(x)\).

- Сложная функция \(f(g(h(x)))\) может быть записана следующим образом:
\[
f(g(h(x))) = f(\sin{(10^x)}) = 5\sqrt{\sin{(10^x)}}
\]

- Сложная функция \(g(f(x))\) может быть записана следующим образом:
\[
g(f(x)) = g(5\sqrt{x}) = 10^{5\sqrt{x}}
\]

- Сложная функция \(f(g(h(x)))\) может быть записана следующим образом:
\[
f(g(h(x))) = f(\tan{x}) = 5\sqrt{\tan{x}}
\]

Перейдем к задаче номер 4.

4. а) Нам нужно решить уравнение \(t(g(x)) = 0\), где \(f(x) = \sin{(x)}\) и \(g(x) = \cos{(x)}\).

Для начала, найдем функцию \(t(x)\). У нас нет информации о функции \(t(x)\), поэтому мы не можем решить это уравнение.

4. б) Здесь нам нужно решить уравнение \(f(g(x)) = 0\), где \(f(x) = \ln{(x)}\) и \(g(x) = \cos{(x)}\).

Уравнение будет выглядеть следующим образом:
\[
\ln{(\cos{(x)})} = 0
\]

Для решения этого уравнения, мы возведем обе стороны в экспоненту \(e\), чтобы избавиться от логарифма:
\[
e^{\ln{(\cos{(x)})}} = e^0
\]

Но мы также знаем, что \(e^{\ln{(a)}} = a\), поэтому:
\[
\cos{(x)} = 1
\]

Значение \(x\), при котором \(\cos{(x)} = 1\), является \(x = 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Итак, решение уравнения \(f(g(x)) = 0\) будет иметь вид \(x = 2\pi k\), где \(k\) - целое число.