1. Найдите значения sin α и cos α, если tg α/2 = 5. 2. Найдите значения sin 2α и cos 2α, при условии: а) tg α

Dasha

10

1. Чтобы найти значения sin α и cos α, зная, что tg α/2 = 5, воспользуемся тригонометрическими формулами половинного угла.

Тригонометрические формулы половинного угла:
\[\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\]
\[\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}\]

В данном случае значение tg α/2 равно 5, следовательно, можно предположить, что \(\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{5}{\sqrt{26}}\).
Так как \(\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}\), то мы можем выразить cos α следующим образом:

\[\cos \alpha = 1 - 2 \left(\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^2 = 1 - 2 \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = -\frac{1}{13}\]

Теперь мы можем найти sin α, используя тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{13}\right)^2} = \pm \frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Таким образом, значения sin α и cos α равны:
\(\sin \alpha = \pm \frac{2\sqrt{13}}{13}\) и \(\cos \alpha = -\frac{1}{13}\).

2. а) Для нахождения значений sin 2α и cos 2α при условии, что tg α = -3, воспользуемся формулами двойного угла.

Формулы для sin 2α и cos 2α:
\[\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\]
\[\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\]

Подставив в формулы значения sin α и cos α, полученные в предыдущей задаче, получим:

\[\sin 2\alpha = 2 \left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right) \left(-\frac{1}{13}\right) = \frac{4\sqrt{13}}{169}\]
\[\cos 2\alpha = \left(-\frac{1}{13}\right)^2 - \left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2 = \frac{3}{13}\]

Таким образом, значения sin 2α и cos 2α при tg α = -3 равны:
\(\sin 2\alpha = \frac{4\sqrt{13}}{169}\) и \(\cos 2\alpha = \frac{3}{13}\).

б) Для нахождения значений sin 2α и cos 2α при условии, что ctg α = 3, мы можем воспользоваться связью между ctg α и tg α:

\[ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha}\]

Таким образом, ctg α = 3 означает, что tg α = \(\frac{1}{3}\).

Мы уже знаем значения sin α и cos α при tg α = \(\frac{1}{3}\) (получены в первой задаче).

Подставим их в формулы для sin 2α и cos 2α:

\[\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right) \left(-\frac{1}{13}\right) = -\frac{4\sqrt{13}}{169}\]
\[\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left(-\frac{1}{13}\right)^2 - \left(\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2 = -\frac{3}{13}\]

Таким образом, значения sin 2α и cos 2α при ctg α = 3 равны:
\(\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{13}}{169}\) и \(\cos 2\alpha = -\frac{3}{13}\).

3. Нам нужно предоставить тригонометрическое доказательство неравенства. Укажите, какое именно неравенство вам интересно, и я с радостью помогу вам с его доказательством.

4. Чтобы доказать, что sin 2α и tg α имеют одинаковый знак при любом α, мы можем взять произвольное значение α и показать, что sin 2α и tg α будут иметь одинаковый знак.

Предположим, что α принадлежит интервалу (0, π/2). Тогда sin α и cos α будут положительными, что означает, что sin 2α и tg α также будут положительными. Рассмотрим другие интервалы для α:

- Если α принадлежит интервалу (π/2, π), то sin α будет положительным, а cos α будет отрицательным. В этом случае sin 2α будет положительным, поскольку -sin^2 α < 0 и cos^2 α > 0, и tg α будет отрицательным, так как sin α / cos α < 0.

- Если α принадлежит интервалу (π, 3π/2), то sin α будет отрицательным, а cos α будет отрицательным. В этом случае sin 2α будет положительным (уравнение sin 2α = -2 sin^2 α показывает, что sin 2α всегда неотрицательно), и tg α будет положительным, так как sin α / cos α > 0.

- Если α принадлежит интервалу (3π/2, 2π), то sin α будет отрицательным, а cos α будет положительным. В этом случае sin 2α будет отрицательным, так как -sin^2 α < 0 и cos^2 α > 0, и tg α будет отрицательным, так как sin α / cos α < 0.

Таким образом, мы показали, что sin 2α и tg α будут иметь одинаковый знак при любом α.

5. а) Чтобы найти значение выражения sin^4 α - cos^4 α при tg α/2 = 1/2, воспользуемся тригонометрическими формулами половинного угла.

\[\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = \left(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\right) \left(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha\right)\]

Мы знаем, что tg α/2 = 1/2. Используя формулу tg α/2 = \(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\), получаем следующее уравнение:

\[\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1}{2}\]

Решая это уравнение, мы находим, что \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) и \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).

Теперь мы можем подставить значения sin α и cos α в выражение \(\left(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\right) \left(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha\right)\):

\[\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}\]

Таким образом, значение выражения sin^4 α - cos^4 α при tg α/2 = 1/2 равно \(\frac{5}{9}\).

б) Чтобы найти значение выражения sin α • cos α, мы можем использовать соотношение между sin 2α и sin α • cos α.

Формула для sin 2α:
\[\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\]

Мы знаем, что tg α/2 = 1/2. Используя формулу tg α/2 = \(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}\), получаем следующее уравнение:

\[\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1}{2}\]

Решая это уравнение, мы находим, что \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) и \(\cos \alpha = \frac{2}{3}\).

Теперь мы можем подставить значения sin α и cos α в формулу sin 2α:

\[\sin 2\alpha = 2 \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9}\]

Таким образом, значение выражения sin α • cos α при tg α/2 = 1/2 равно \(\frac{4}{9}\).