Как найти координаты точек пересечения прямой х + 2у – 5 = 0 и окружности (х-1)^2+(у-2)^2=5 без строительных работ?

Aleksandr_3188

39

Для нахождения координат точек пересечения прямой и окружности без строительных работ, мы можем использовать метод подстановки. Начнем с уравнения прямой:

\[x + 2y - 5 = 0\]

И уравнения окружности:

\[(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5\]

Давайте решим уравнение прямой относительно одной переменной и подставим его в уравнение окружности. Начнем с выражения уравнения прямой относительно \(x\):

\[x = 5 - 2y\]

Теперь подставим это значение в уравнение окружности:

\[(5 - 2y - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5\]

\[(4 - 2y)^2 + (y - 2)^2 = 5\]

Раскроем скобки:

\[16 - 16y + 4y^2 + y^2 - 4y + 4 = 5\]

Сгруппируем и объединим подобные слагаемые:

\[5y^2 - 24y + 15 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить для нахождения значений \(y\). Мы можем использовать квадратное уравнение следующим образом:

\[y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

В данном случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны:

\[a = 5, \quad b = -24, \quad c = 15\]

Подставим эти значения в формулу:

\[y = \frac{{-(-24) \pm \sqrt{{(-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 15}}}}{{2 \cdot 5}}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[y = \frac{{24 \pm \sqrt{{576 - 300}}}}{{10}}\]

\[y = \frac{{24 \pm \sqrt{{276}}}}{{10}}\]

\[y = \frac{{24 \pm 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\]

Итак, мы получили два возможных значения \(y\). Чтобы найти соответствующие значения \(x\), мы подставляем каждое из значений \(y\) в уравнение прямой:

Для \(y = \frac{{24 + 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\):

\[x = 5 - 2\left(\frac{{24 + 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\right)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[x = \frac{{-4\sqrt{{69}} - 11}}{{5}}\]

Таким образом, получаем одну пару координат точки пересечения - \(\left(\frac{{-4\sqrt{{69}} - 11}}{{5}}, \frac{{24 + 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\right)\).

Теперь проделаем те же шаги для другого значения \(y\), \(y = \frac{{24 - 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\):

\[x = 5 - 2\left(\frac{{24 - 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\right)\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[x = \frac{{4\sqrt{{69}} - 11}}{{5}}\]

Таким образом, получаем вторую пару координат точки пересечения - \(\left(\frac{{4\sqrt{{69}} - 11}}{{5}}, \frac{{24 - 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\right)\).

Итак, координаты точек пересечения прямой \(x + 2y - 5 = 0\) и окружности \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 5\) без строительных работ равны:

\(\left(\frac{{-4\sqrt{{69}} - 11}}{{5}}, \frac{{24 + 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\right)\) и \(\left(\frac{{4\sqrt{{69}} - 11}}{{5}}, \frac{{24 - 2\sqrt{{69}}}}{{10}}\right)\)