1. Найти площадь сегмента Sбок, если AC=8 и ∠CAB=60 градусов. 2. Найти площадь сегмента Sбок, если ∠AO1B=60 градусов

Viktor

32

1. Для решения этой задачи воспользуемся формулой для площади сегмента окружности. Площадь сегмента можно найти, используя следующее выражение:

\[S_{\text{бок}} = \frac{R^2}{2}(\theta - \sin\theta)\]

где \(S_{\text{бок}}\) - площадь сегмента, \(R\) - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол в радианах.

В данной задаче у нас дано, что \(AC = 8\) и \(\angle CAB = 60^\circ\).

1) Найдем радиус окружности \(R\):

Для этого, воспользуемся тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике АСВ:

\[\sin\angle CAB = \frac{AC}{R}\]

Подставляем известные значения:

\[\sin 60^\circ = \frac{8}{R}\]

Решим уравнение относительно \(R\):

\[R=\frac{8}{\sin 60^\circ}\]

\[R=\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\]

\[R=\frac{16}{\sqrt{3}}\]

2) Вычислим центральный угол \(\theta\) в радианах:

Для этого переведем угол из градусов в радианы:

\[\theta = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \angle CAB\]

\[\theta = \frac{\pi}{180^\circ} \cdot 60^\circ\]

\[\theta = \frac{\pi}{3}\]

3) Подставим найденные значения в формулу для площади сегмента:

\[S_{\text{бок}} = \frac{\left(\frac{16}{\sqrt{3}}\right)^2}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}\right)\]

\[S_{\text{бок}} = \frac{256}{3}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\[S_{\text{бок}} \approx 58.83\]

Таким образом, площадь сегмента равна около 58.83 квадратных единиц.

2. В данной задаче имеется окружность с центром в точке O и радиусом OA (9 единиц), а также отрезок AB (15 единиц) и угол ∠AO1B (60 градусов).

Для нахождения площади сегмента Sбок используем ту же формулу, что и в предыдущей задаче.

1) Найдем радиус окружности \(R\):

В прямоугольном треугольнике ОАС, у которого гипотенуза - OA, противолежащий катет - AC, а прилежащий - OC, применим теорему Пифагора и найдем OC:

\[OC = \sqrt{OA^2 - AC^2}\]

\[OC = \sqrt{9^2 - 8^2}\]

\[OC = \sqrt{81 - 64}\]

\[OC = \sqrt{17}\]

Теперь найдем радиус окружности:

\[R = OA + OC\]

\[R = 9 + \sqrt{17}\]

2) Вычислим центральный угол \(\theta\) в радианах:

Для этого переведем угол из градусов в радианы:

\[\theta = \frac{\pi}{180}\cdot \angle OAB\]

\[\theta = \frac{\pi}{180} \cdot 60^\circ\]

\[\theta = \frac{\pi}{3}\]

3) Подставим найденные значения в формулу для площади сегмента:

\[S_{\text{бок}} = \frac{(9 + \sqrt{17})^2}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}\right)\]

\[S_{\text{бок}} = \frac{(9 + \sqrt{17})^2}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

\[S_{\text{бок}} \approx 68.17\]

Таким образом, площадь сегмента равна около 68.17 квадратных единиц.