1. Найти точки, в которых производная функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213 равна нулю. 2. Найти максимальное и минимальное

Ледяной_Огонь

60

1. Для того чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю, необходимо найти значения аргумента, при которых производная функции равна 0. В данном случае, функция \(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 72x - 213\), поэтому мы будем искать значение \(x\), при котором \(f"(x) = 0\).

Давайте найдем производную функции \(f(x)\):
\[f"(x) = (2x^3 + 3x^2 - 72x - 213)" = 6x^2 + 6x - 72.\]

Теперь приравняем производную к 0 и решим полученное уравнение:
\[6x^2 + 6x - 72 = 0.\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[D = (b^2 - 4ac) = (6^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-72)) = (36 + 1728) = 1764.\]

Так как дискриминант \(D\) положителен, у уравнения есть два различных корня:
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{1764}}{12} = \frac{-6 - 42}{12} = -6.\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{1764}}{12} = \frac{-6 + 42}{12} = 3.\]

Таким образом, точки, в которых производная функции равна нулю, равны:
\(x_1 = -6\) и \(x_2 = 3\).

2. Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции \(y = x^3 - 9x^2 + 24x - 15\) на интервале \([1;3]\), необходимо найти значения функции на границах интервала и во всех точках, где производная равна нулю.

Первым делом, найдем значения функции на границах интервала.
Положим \(x = 1\):
\[y = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 - 15 = 1 - 9 + 24 - 15 = 1.\]
Теперь положим \(x = 3\):
\[y = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 15 = 27 - 81 + 72 - 15 = 3.\]

Теперь найдем значения функции в точках, где производная равна нулю. Функция дана в кубической форме, поэтому производная будет квадратичной.
Вычислим производную функции:
\[y" = (x^3 - 9x^2 + 24x - 15)" = 3x^2 - 18x + 24.\]

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[3x^2 - 18x + 24 = 0.\]

Мы можем разделить все коэффициенты на 3, чтобы упростить уравнение:
\[x^2 - 6x + 8 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение:
\[(x - 2)(x - 4) = 0.\]

Отсюда получаем два значения:
\(x_1 = 2\) и \(x_2 = 4\).

Теперь найдем значения функции в этих точках:
При \(x = 2\):
\[y = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 15 = 8 - 36 + 48 - 15 = 5.\]
При \(x = 4\):
\[y = 4^3 - 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 - 15 = 64 - 144 + 96 - 15 = 1.\]

Таким образом, максимальное значение функции равно 5 (достигается при \(x = 2\)), а минимальное значение функции равно 1 (достигается при \(x = 3\) и \(x = 4\)) на интервале \([1;3]\).

3. Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 3x^2 - 4x - 2\) в точке графика с абсциссой \(x_0 = -1\), необходимо найти значение функции в данной точке и значение производной в данной точке.

Вычислим значение функции \(f\) в точке \(x_0 = -1\):
\[f(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 3 + 4 - 2 = 5.\]

Теперь найдем значение производной функции \(f\) в точке \(x_0 = -1\):
\[f"(-1) = (3x^2 - 4x - 2)" = 6x - 4.\]
\[f"(-1) = 6(-1) - 4 = -6 - 4 = -10.\]

Теперь, используя найденные значения, мы можем записать уравнение касательной в точке \((-1, 5)\) с производной -10:
\[y - 5 = -10(x - (-1)).\]
Упростим уравнение:
\[y - 5 = -10x - 10.\]
\[y = -10x - 5.\]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 3x^2 - 4x - 2\) в точке \((-1, 5)\) равно \(y = -10x - 5\).

4. Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = 2x^2 + x\) и прямыми \(x = 0\) и \(x = 1\), нужно вычислить определенный интеграл от функции на данном интервале.

Площадь фигуры можно найти с помощью следующей формулы \(\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx\), где \(a\) и \(b\) являются границами интервала.

Выбранная функция \(f(x) = 2x^2 + x\) положительна на данном интервале \([0;1]\), поэтому площадь фигуры будет равна определенному интегралу от \(f(x)\).

Вычислим интеграл:
\[\int_{0}^{1} (2x^2 + x) \, dx.\]

Проинтегрируем функцию:
\[\int_{0}^{1} 2x^2 \, dx + \int_{0}^{1} x \, dx.\]

\[\left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} + \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1}.\]

Подставим значения верхнего и нижнего пределов:
\[\left( \frac{2}{3} \cdot 1^3 + \frac{1}{2} \cdot 1^2 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0^3 + \frac{1}{2} \cdot 0^2 \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 \right).\]

\[\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(f(x) = 2x^2 + x\) и прямыми \(x = 0\) и \(x = 1\), равна \(\frac{5}{2}\) (пять вторых).

5. Чтобы найти значение функции \(F(x) = 4x^3 + 2x\), если ее первообразная при \(x = 1\) равна \(C\), необходимо подставить значение \(x = 1\) в функцию и приравнять это значение к постоянной \(C\). Затем найдите значение функции.

Для данной функции, чтобы найти первообразную, необходимо проинтегрировать функцию по переменной \(x\) и добавить произвольную постоянную \(C\).

Проинтегрируем функцию \(F(x) = 4x^3 + 2x\):
\[F(x) = \int (4x^3 + 2x) \, dx = \frac{4}{4} x^4 + \frac{2}{2} x^2 + C = x^4 + x^2 + C.\]

Поставим значение \(x = 1\) и получим уравнение:
\[C = 1^4 + 1^2 + C.\]

Получаем:
\[C = 1 + 1 + C.\]

Отсюда видно, что произвольная постоянная \(C\) неизменна и равна 2.

Таким образом, значение функции \(F(x) = 4x^3 + 2x\), если ее первообразная при \(x = 1\) равна \(C\), составляет:
\[F(1) = 4 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 = 4 + 2 = 6.\]