1. Найти точки, в которых производная функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213 равна нулю. 2. Найти максимальное и минимальное

Ледяной_Огонь

60

1. Для того чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю, необходимо найти значения аргумента, при которых производная функции равна 0. В данном случае, функция $f(x)=2x^3+3x^2-72x-213$, поэтому мы будем искать значение $x$, при котором $f"(x)=0$.

Давайте найдем производную функции $f(x)$:
$$f"(x)=(2x^3+3x^2-72x-213)"=6x^2+6x-72.$$

Теперь приравняем производную к 0 и решим полученное уравнение:
$$6x^2+6x-72=0.$$

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
$$D=(b^2-4ac)=(6^2-4\cdot 6\cdot (-72))=(36+1728)=1764.$$

Так как дискриминант $D$ положителен, у уравнения есть два различных корня:
$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6-\sqrt{1764}}{12}=\frac{-6-42}{12}=-6.$$
$$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6+\sqrt{1764}}{12}=\frac{-6+42}{12}=3.$$

Таким образом, точки, в которых производная функции равна нулю, равны:
$x_1=-6$ и $x_2=3$.

2. Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции $y=x^3-9x^2+24x-15$ на интервале $[1;3]$, необходимо найти значения функции на границах интервала и во всех точках, где производная равна нулю.

Первым делом, найдем значения функции на границах интервала.
Положим $x=1$:
$$y=1^3-9\cdot 1^2+24\cdot 1-15=1-9+24-15=1.$$
Теперь положим $x=3$:
$$y=3^3-9\cdot 3^2+24\cdot 3-15=27-81+72-15=3.$$

Теперь найдем значения функции в точках, где производная равна нулю. Функция дана в кубической форме, поэтому производная будет квадратичной.
Вычислим производную функции:
$$y"=(x^3-9x^2+24x-15)"=3x^2-18x+24.$$

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
$$3x^2-18x+24=0.$$

Мы можем разделить все коэффициенты на 3, чтобы упростить уравнение:
$$x^2-6x+8=0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение:
$$(x-2)(x-4)=0.$$

Отсюда получаем два значения:
$x_1=2$ и $x_2=4$.

Теперь найдем значения функции в этих точках:
При $x=2$:
$$y=2^3-9\cdot 2^2+24\cdot 2-15=8-36+48-15=5.$$
При $x=4$:
$$y=4^3-9\cdot 4^2+24\cdot 4-15=64-144+96-15=1.$$

Таким образом, максимальное значение функции равно 5 (достигается при $x=2$), а минимальное значение функции равно 1 (достигается при $x=3$ и $x=4$) на интервале $[1;3]$.

3. Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $f(x)=3x^2-4x-2$ в точке графика с абсциссой $x_0=-1$, необходимо найти значение функции в данной точке и значение производной в данной точке.

Вычислим значение функции $f$ в точке $x_0=-1$:
$$f(-1)=3(-1{)}^2-4(-1)-2=3+4-2=5.$$

Теперь найдем значение производной функции $f$ в точке $x_0=-1$:
$$f"(-1)=(3x^2-4x-2)"=6x-4.$$
$$f"(-1)=6(-1)-4=-6-4=-10.$$

Теперь, используя найденные значения, мы можем записать уравнение касательной в точке $(-1,5)$ с производной -10:
$$y-5=-10(x-(-1)).$$
Упростим уравнение:
$$y-5=-10x-10.$$
$$y=-10x-5.$$
Таким образом, уравнение касательной к графику функции $f(x)=3x^2-4x-2$ в точке $(-1,5)$ равно $y=-10x-5$.

4. Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x)=2x^2+x$ и прямыми $x=0$ и $x=1$, нужно вычислить определенный интеграл от функции на данном интервале.

Площадь фигуры можно найти с помощью следующей формулы ${\int }_a^b|f(x)|dx$, где $a$ и $b$ являются границами интервала.

Выбранная функция $f(x)=2x^2+x$ положительна на данном интервале $[0;1]$, поэтому площадь фигуры будет равна определенному интегралу от $f(x)$.

Вычислим интеграл:
$${\int }_0^1(2x^2+x)dx.$$

Проинтегрируем функцию:
$${\int }_0^{1}2x^{2}dx+{\int }_0^{1}xdx.$$

$${[\frac{2}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2]}_0^1+{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1.$$

Подставим значения верхнего и нижнего пределов:
$$(\frac{2}{3}\cdot 1^3+\frac{1}{2}\cdot 1^2)-(\frac{2}{3}\cdot 0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2)+(\frac{1}{2}\cdot 1^2-\frac{1}{2}\cdot 0^2).$$

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}.$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x)=2x^2+x$ и прямыми $x=0$ и $x=1$, равна $\frac{5}{2}$ (пять вторых).

5. Чтобы найти значение функции $F(x)=4x^3+2x$, если ее первообразная при $x=1$ равна $C$, необходимо подставить значение $x=1$ в функцию и приравнять это значение к постоянной $C$. Затем найдите значение функции.

Для данной функции, чтобы найти первообразную, необходимо проинтегрировать функцию по переменной $x$ и добавить произвольную постоянную $C$.

Проинтегрируем функцию $F(x)=4x^3+2x$:
$$F(x)=\int (4x^3+2x)dx=\frac{4}{4}{x}^4+\frac{2}{2}{x}^2+C=x^4+x^2+C.$$

Поставим значение $x=1$ и получим уравнение:
$$C=1^4+1^2+C.$$

Получаем:
$$C=1+1+C.$$

Отсюда видно, что произвольная постоянная $C$ неизменна и равна 2.

Таким образом, значение функции $F(x)=4x^3+2x$, если ее первообразная при $x=1$ равна $C$, составляет:
$$F(1)=4\cdot 1^3+2\cdot 1=4+2=6.$$