1. Найти точки, в которых производная функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213 равна нулю. 2. Найти максимальное и минимальное

  • 43
1. Найти точки, в которых производная функции f(x)=2x^3+3x^2-72x-213 равна нулю.
2. Найти максимальное и минимальное значения функции y=x^3-9x^2+24x-15 на интервале [1;3].
3. Найти уравнение касательной к графику функции f(x)=3x^2-4x-2 в точке графика с абсциссой x0=-1.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2x^2+x и прямыми x=0, x=1.
5. Найти значение функции F(x)=4x^3+2x, если ее первообразная при x=1 равна 25.
Ледяной_Огонь
60
1. Для того чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю, необходимо найти значения аргумента, при которых производная функции равна 0. В данном случае, функция f(x)=2x3+3x272x213, поэтому мы будем искать значение x, при котором f"(x)=0.

Давайте найдем производную функции f(x):
f"(x)=(2x3+3x272x213)"=6x2+6x72.

Теперь приравняем производную к 0 и решим полученное уравнение:
6x2+6x72=0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
D=(b24ac)=(6246(72))=(36+1728)=1764.

Так как дискриминант D положителен, у уравнения есть два различных корня:
x1=bD2a=6176412=64212=6.
x2=b+D2a=6+176412=6+4212=3.

Таким образом, точки, в которых производная функции равна нулю, равны:
x1=6 и x2=3.

2. Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции y=x39x2+24x15 на интервале [1;3], необходимо найти значения функции на границах интервала и во всех точках, где производная равна нулю.

Первым делом, найдем значения функции на границах интервала.
Положим x=1:
y=13912+24115=19+2415=1.
Теперь положим x=3:
y=33932+24315=2781+7215=3.

Теперь найдем значения функции в точках, где производная равна нулю. Функция дана в кубической форме, поэтому производная будет квадратичной.
Вычислим производную функции:
y"=(x39x2+24x15)"=3x218x+24.

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
3x218x+24=0.

Мы можем разделить все коэффициенты на 3, чтобы упростить уравнение:
x26x+8=0.

Теперь решим это квадратное уравнение:
(x2)(x4)=0.

Отсюда получаем два значения:
x1=2 и x2=4.

Теперь найдем значения функции в этих точках:
При x=2:
y=23922+24215=836+4815=5.
При x=4:
y=43942+24415=64144+9615=1.

Таким образом, максимальное значение функции равно 5 (достигается при x=2), а минимальное значение функции равно 1 (достигается при x=3 и x=4) на интервале [1;3].

3. Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x)=3x24x2 в точке графика с абсциссой x0=1, необходимо найти значение функции в данной точке и значение производной в данной точке.

Вычислим значение функции f в точке x0=1:
f(1)=3(1)24(1)2=3+42=5.

Теперь найдем значение производной функции f в точке x0=1:
f"(1)=(3x24x2)"=6x4.
f"(1)=6(1)4=64=10.

Теперь, используя найденные значения, мы можем записать уравнение касательной в точке (1,5) с производной -10:
y5=10(x(1)).
Упростим уравнение:
y5=10x10.
y=10x5.
Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x)=3x24x2 в точке (1,5) равно y=10x5.

4. Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2x2+x и прямыми x=0 и x=1, нужно вычислить определенный интеграл от функции на данном интервале.

Площадь фигуры можно найти с помощью следующей формулы ab|f(x)|dx, где a и b являются границами интервала.

Выбранная функция f(x)=2x2+x положительна на данном интервале [0;1], поэтому площадь фигуры будет равна определенному интегралу от f(x).

Вычислим интеграл:
01(2x2+x)dx.

Проинтегрируем функцию:
012x2dx+01xdx.

[23x3+12x2]01+[12x2]01.

Подставим значения верхнего и нижнего пределов:
(2313+1212)(2303+1202)+(12121202).

23+12+12=33+12=42+12=52.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=2x2+x и прямыми x=0 и x=1, равна 52 (пять вторых).

5. Чтобы найти значение функции F(x)=4x3+2x, если ее первообразная при x=1 равна C, необходимо подставить значение x=1 в функцию и приравнять это значение к постоянной C. Затем найдите значение функции.

Для данной функции, чтобы найти первообразную, необходимо проинтегрировать функцию по переменной x и добавить произвольную постоянную C.

Проинтегрируем функцию F(x)=4x3+2x:
F(x)=(4x3+2x)dx=44x4+22x2+C=x4+x2+C.

Поставим значение x=1 и получим уравнение:
C=14+12+C.

Получаем:
C=1+1+C.

Отсюда видно, что произвольная постоянная C неизменна и равна 2.

Таким образом, значение функции F(x)=4x3+2x, если ее первообразная при x=1 равна C, составляет:
F(1)=413+21=4+2=6.