1. Найти уравнение медианы ВМ в треугольнике АВС с вершинами А(8;-1), В(3;–2) и С(5;-2). 2. Найти уравнение

Korova

66

Конечно, давайте начнем с каждого вопроса по очередности.

1. Для нахождения уравнения медианы ВМ в треугольнике АВС нужно вычислить координаты точки М, а затем использовать эти координаты для составления уравнения.

Итак, чтобы найти координаты точки М, мы должны найти среднее арифметическое (среднее значение) координат вершин треугольника. Для этого сложим координаты точек А, В и С и разделим полученные значения на 3.

\( x_M = \frac{{x_A + x_B + x_C}}{3} \)
\( y_M = \frac{{y_A + y_B + y_C}}{3} \)

Подставим значения вершин треугольника:

\( x_M = \frac{{8 + 3 + 5}}{3} = 5.33 \)
\( y_M = \frac{{-1 - 2 - 2}}{3} = -1.67 \)

Таким образом, координаты точки М равны (5.33, -1.67).

Теперь мы можем использовать эти координаты, чтобы составить уравнение медианы ВМ. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину В с точкой М.

Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно найти, используя формулу:

\( y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) \)

Подставим значения точек В и М:

\( y - (-2) = \frac{{-1.67 - (-2)}}{{5.33 - 3}}(x - 3) \)

Выполним несколько вычислений:

\( y + 2 = \frac{{-1.67 + 2}}{{5.33 - 3}}(x - 3) \)
\( y + 2 = \frac{{0.33}}{{2.33}}(x - 3) \)
\( y + 2 = \frac{{1}}{{7}}(x - 3) \)
\( y + 2 = \frac{{1}}{{7}}x - \frac{{3}}{{7}} \)
\( y = \frac{{1}}{{7}}x - \frac{{17}}{{7}} \)

Итак, уравнение медианы ВМ в треугольнике АВС равно \( y = \frac{{1}}{{7}}x - \frac{{17}}{{7}} \).

2. Чтобы найти уравнение перпендикуляра, опущенного из С на медиану ВМ, мы сначала найдем уравнение медианы ВМ (мы получили его в предыдущем ответе), а затем используем свойство перпендикуляров: угловой коэффициент перпендикуляра будет противоположным обратным угловому коэффициенту медианы ВМ.

Итак, угловой коэффициент медианы ВМ равен \( \frac{{1}}{{7}} \). Поэтому угловой коэффициент перпендикуляра будет \( -\frac{{7}}{{1}} = -7 \).

Мы знаем, что перпендикуляр, опущенный из С на медиану ВМ, проходит через точку С и имеет угловой коэффициент -7. Мы можем использовать формулу для уравнения прямой, чтобы найти уравнение перпендикуляра:

\( y - y_C = -7(x - x_C) \)

Подставим значения точки С:

\( y - (-2) = -7(x - 5) \)

Выполним несколько вычислений:

\( y + 2 = -7(x - 5) \)
\( y + 2 = -7x + 35 \)
\( y = -7x + 33 \)

Итак, уравнение перпендикуляра, опущенного из С на медиану ВМ, составляет \( y = -7x + 33 \).

3. Нам дан треугольник АВС со следующими вершинами: А(8;-1), В(3;–2) и С(5;-2). Чтобы найти длину высоты треугольника, нам понадобится знать основание и высоту. Основание - это отрезок, на котором опущена высота, и высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на его основание.

Для нахождения длины высоты треугольника АВС, мы сначала найдем уравнение прямой, проходящей через основание. Затем мы найдем перпендикулярное уравнение и найдем точку пересечения этих двух прямых. Используя координаты точки пересечения, мы сможем найти длину высоты.

Первым делом найдем уравнение прямой, проходящей через основание треугольника, или прямую, проходящую через точки А и В. Мы можем использовать формулу для уравнения прямой:

\( y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1) \)

Подставим значения точек А и В:

\( y - (-1) = \frac{{-2 - (-1)}}{{3 - 8}}(x - 8) \)

Выполним несколько вычислений:

\( y + 1 = \frac{{-3}}{{-5}}(x - 8) \)
\( y + 1 = \frac{{3}}{{5}}(x - 8) \)
\( y + 1 = \frac{{3}}{{5}}x - \frac{{24}}{{5}} \)
\( y = \frac{{3}}{{5}}x - \frac{{29}}{{5}} \)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через основание треугольника, составляет \( y = \frac{{3}}{{5}}x - \frac{{29}}{{5}} \).

Теперь найдем перпендикуляр к основанию треугольника, опущенный из точки С на основание. Для этого мы знаем, что уравнение перпендикуляра будет иметь противоположный обратный угловой коэффициент.

Угловой коэффициент основания треугольника равен \( \frac{{3}}{{5}} \). Таким образом, угловой коэффициент перпендикуляра будет \( -\frac{{5}}{{3}} \).

Мы знаем, что перпендикуляр, опущенный из С на основание треугольника, проходит через точку С и имеет угловой коэффициент -5/3. Мы можем использовать формулу для уравнения прямой, чтобы найти уравнение перпендикуляра:

\( y - y_C = -\frac{{5}}{{3}}(x - x_C) \)

Подставим значения точки С:

\( y - (-2) = -\frac{{5}}{{3}}(x - 5) \)

Выполним несколько вычислений:

\( y + 2 = -\frac{{5}}{{3}}(x - 5) \)
\( y + 2 = -\frac{{5}}{{3}}x + \frac{{25}}{{3}} \)
\( y = -\frac{{5}}{{3}}x + \frac{{19}}{{3}} \)

Итак, уравнение перпендикуляра, опущенного из С на основание треугольника, составляет \( y = -\frac{{5}}{{3}}x + \frac{{19}}{{3}} \).

Теперь, чтобы найти точку пересечения между этими двумя прямыми, решим систему уравнений, состоящую из уравнения основания и уравнения перпендикуляра:

\(\begin{cases} y = \frac{{3}}{{5}}x - \frac{{29}}{{5}} \\ y = -\frac{{5}}{{3}}x + \frac{{19}}{{3}} \end{cases}\)

Для решения этой системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания. Я воспользуюсь методом сложения/вычитания:

Вычтем второе уравнение из первого:

\(\frac{{3}}{{5}}x - \frac{{5}}{{3}}x = \frac{{19}}{{3}} - \frac{{29}}{{5}}\)

Упростим выражение:

\(\frac{{9}}{{15}}x - \frac{{25}}{{15}}x = \frac{{95 - 87}}{{15}}\)
\(\frac{{-16}}{{15}}x = \frac{{8}}{{15}}\)

Разделим обе стороны на \(\frac{{-16}}{{15}}\):

\(x = -\frac{{8}}{{16}} = -\frac{{1}}{{2}}\)

Теперь, когда мы знаем значения x, мы можем подставить его в одно из уравнений (например, первое уравнение) для определения соответствующего значения y. Подставим x = -1/2 в первое уравнение:

\(y = \frac{{3}}{{5}}(-\frac{{1}}{{2}}) - \frac{{29}}{{5}}\)

Выполним вычисления:

\(y = \frac{{-3}}{{10}} - \frac{{29}}{{5}} = -\frac{{3}}{{10}} - \frac{{58}}{{10}} = -\frac{{61}}{{10}}\)

Таким образом, точка пересечения медианы и высоты треугольника имеет координаты \(\left(-\frac{{1}}{{2}}, -\frac{{61}}{{10}}\right)\).

Теперь, чтобы найти длину высоты треугольника, нам нужно измерить расстояние между точкой С и точкой пересечения медианы и высоты. Мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Подставим значения точек С и точки пересечения:

\(d = \sqrt{{(-\frac{{1}}{{2}} - 5)^2 + (-\frac{{61}}{{10}} - (-2))^2}}\)

Выполним несколько вычислений:

\(d = \sqrt{{(-\frac{{11}}{{2}})^2 + (-\frac{{21}}{{10}})^2}}\)
\(d = \sqrt{{\frac{{121}}{{4}} + \frac{{441}}{{100}}}}\)
\(d = \sqrt{{\frac{{605}}{{100}} + \frac{{441}}{{100}}}}\)
\(d = \sqrt{{\frac{{1046}}{{100}}}}\)
\(d = \sqrt{{\frac{{523}}{{50}}}}\)
\(d \approx 7.22\)

Таким образом, длина высоты треугольника АВС составляет около 7.22 единицы.