1. Необходимо найти объем прямоугольного параллелепипеда с диагональю основания равной 10 см и диагоналями боковых
1. Необходимо найти объем прямоугольного параллелепипеда с диагональю основания равной 10 см и диагоналями боковых граней, которые равны 2√10 см и 2√17 см.
2. Требуется определить объем тела вращения, которое получается путем вращения прямоугольного треугольника с катетом 3 см и гипотенузой 6 см вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла, параллельно гипотенузе.
2. Требуется определить объем тела вращения, которое получается путем вращения прямоугольного треугольника с катетом 3 см и гипотенузой 6 см вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла, параллельно гипотенузе.
Поющий_Хомяк 57
Задача 1. Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда сначала нужно найти длины его сторон основания. Известно, что диагональ основания равна 10 см, а диагонали боковых граней равны 2√10 см и 2√17 см.Пусть a, b и c - длины сторон параллелепипеда, тогда применимо следующее соотношение:
\(\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = \left(\frac{2\sqrt{10}}{2}\right)^2 = 10\)
\(\frac{a^2}{4} + \frac{c^2}{4} = \left(\frac{2\sqrt{17}}{2}\right)^2 = 17\)
\(a^2 + b^2 = 40\)
\(a^2 + c^2 = 68\)
Решим эту систему уравнений для нахождения длин сторон a, b и c.
Из первого уравнения получаем \(b = \sqrt{40 - a^2}\). Подставим это во второе уравнение: \(a^2 + c^2 = 68\). Подставим также \(b = \sqrt{40 - a^2}\). Получим следующее уравнение:
\(a^2 + \left(\sqrt{40 - a^2}\right)^2 = 68\)
\(a^2 + 40 - a^2 = 68\)
\(40 = 68 - 40\)
\(40 = 28\)
Система уравнений не совместна, поэтому параллелепипед с такими данными не существует.
Задача 2. Чтобы найти объем тела вращения, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе, мы можем использовать формулу объема вращения. Формула объема вращения гласит:
\(V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 dx\),
где \(f(x)\) - функция, описывающая поперечное сечение тела вращения.
В данной задаче, функция \(f(x)\) будет соответствовать прямоугольнику с шириной \(f(x) = 3\) и высотой \(f(x) = \sqrt{6^2 - x^2}\), где \(x\) находится в пределах от 0 до 3. Это связано с тем, что мы вращаем треугольник с катетом 3 и гипотенузой 6 вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\(V = \pi \int_{0}^{3} 3^2 (\sqrt{6^2 - x^2})^2 dx\)
\(V = 9\pi \int_{0}^{3} 6^2 - x^2 dx\)
\(V = 9\pi \int_{0}^{3} 36 - x^2 dx\)
Далее, проинтегрируем:
\(V = 9\pi \left[36x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{3}\)
\(V = 9\pi \left[(36 \cdot 3) - \frac{3^3}{3} - (36 \cdot 0) + \frac{0^3}{3}\right]\)
\(V = 9\pi \left[108 - 9 - 0 + 0\right]\)
\(V = 9\pi (99)\)
\(V = 891\pi\)
Итак, объем тела вращения составляет \(891\pi\) кубических сантиметров.