Какое наименьшее целое положительное число n делит An=4+44+444+…+4…4 (где последнее слагаемое содержит n четверок)?

Yakorica

41

Чтобы найти наименьшее целое положительное число \(n\), которое делит число \(A_n = 4 + 44 + 444 + \ldots + 4\ldots 4\), давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Чтобы упростить задачу, мы можем представить каждое число в последовательности \(A_n\) в виде суммы степеней числа 10:

\[A_n = 4 + 44 + 444 + \ldots + 4\ldots 4 = 4 \times 10^0 + 4 \times 10^1 + 4 \times 10^2 + \ldots + 4 \times 10^{(n-1)}\]

Заметим, что каждое слагаемое в последовательности \(A_n\) можно представить как \(4 \times (10^0 + 10^1 + 10^2 + \ldots + 10^{(n-1)})\).

Теперь давайте рассмотрим сумму внутри скобок, которую можно представить как геометрическую прогрессию:

\[10^0 + 10^1 + 10^2 + \ldots + 10^{(n-1)} = \frac{{10^n - 1}}{{10 - 1}} = \frac{{10^n - 1}}{{9}}\]

Теперь вернемся к исходному выражению \(A_n\) и подставим результат \(10^n - 1\):

\[A_n = 4 \times (10^0 + 10^1 + 10^2 + \ldots + 10^{(n-1)}) = 4 \times \frac{{10^n - 1}}{{9}}\]

Теперь мы можем заметить, что число \(n\) является делителем числа \(A_n\) только тогда, когда число \(\frac{{10^n - 1}}{{9}}\) делится на \(n\).

Таким образом, пробуем различные значения \(n\) и проверяем, делится ли \(\frac{{10^n - 1}}{{9}}\) на \(n\). Найдя такое значение \(n\), при котором это условие выполняется впервые, мы найдем наименьшее целое положительное значение \(n\), которое делит \(A_n\).

Давайте применим этот подход к нашей задаче.

Начнем с \(n = 1\):

\[\frac{{10^1 - 1}}{{9}} = \frac{{10 - 1}}{{9}} = \frac{9}{9} = 1\]

Мы видим, что \(\frac{{10^1 - 1}}{{9}}\) делится на \(n = 1\). Таким образом, \(n = 1\) - это искомое наименьшее значение.

Ответ: Наименьшее целое положительное число \(n\), которое делит \(A_n = 4 + 44 + 444 + \ldots + 4\ldots 4\), равно \(n = 1\).