Какое наименьшее целое положительное число n делит An=4+44+444+…+4…4 (где последнее слагаемое содержит n четверок)?

  • 27
Какое наименьшее целое положительное число n делит An=4+44+444+…+4…4 (где последнее слагаемое содержит n четверок)?
Yakorica
41
Чтобы найти наименьшее целое положительное число n, которое делит число An=4+44+444++44, давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Чтобы упростить задачу, мы можем представить каждое число в последовательности An в виде суммы степеней числа 10:

An=4+44+444++44=4×100+4×101+4×102++4×10(n1)

Заметим, что каждое слагаемое в последовательности An можно представить как 4×(100+101+102++10(n1)).

Теперь давайте рассмотрим сумму внутри скобок, которую можно представить как геометрическую прогрессию:

100+101+102++10(n1)=10n1101=10n19

Теперь вернемся к исходному выражению An и подставим результат 10n1:

An=4×(100+101+102++10(n1))=4×10n19

Теперь мы можем заметить, что число n является делителем числа An только тогда, когда число 10n19 делится на n.

Таким образом, пробуем различные значения n и проверяем, делится ли 10n19 на n. Найдя такое значение n, при котором это условие выполняется впервые, мы найдем наименьшее целое положительное значение n, которое делит An.

Давайте применим этот подход к нашей задаче.

Начнем с n=1:

10119=1019=99=1

Мы видим, что 10119 делится на n=1. Таким образом, n=1 - это искомое наименьшее значение.

Ответ: Наименьшее целое положительное число n, которое делит An=4+44+444++44, равно n=1.