1. Объясните, почему треугольники ABF и CBD (рис. 42) равны, если AB = BC и BF = BD. 2. Определите длины сторон

Шерлок

35

Давайте решим эти задачи по порядку.

1. Для начала, давайте посмотрим на рисунок 42 и условия задачи. У нас есть треугольники ABF и CBD, где AB = BC и BF = BD. Нам нужно объяснить, почему эти треугольники равны.

Мы можем заметить, что у нас уже есть две пары равных сторон — AB = BC и BF = BD. Для равенства треугольников нам также нужны равные углы. Посмотрим на треугольник ABF и треугольник CBD.

У нас есть две вертикальные прямые, которые пересекаются в точке B. Это означает, что у нас есть два вертикальных угла — ∠ABF и ∠CBD, которые равны по определению вертикальных углов.

Теперь у нас есть две равные стороны и два равных угла, что соответствует одному из условий равенства треугольников. Следовательно, треугольники ABF и CBD равны.

2. Давайте теперь решим вторую задачу. У нас есть равнобедренный треугольник с периметром 33 см, а основание на 3 см короче боковой стороны. Мы должны определить длины сторон треугольника.

Пусть x обозначает длину боковой стороны треугольника. Тогда длина основания будет равна x - 3, так как она короче боковой стороны на 3 см.

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме длин двух боковых сторон плюс длина основания:
33 = 2x + (x - 3)

Раскроем скобки:
33 = 2x + x - 3

Соберем все члены с x вместе:
33 = 3x - 3

Теперь добавим 3 к обеим сторонам уравнения:
36 = 3x

Разделим обе стороны на 3:
x = 12

Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна 12 см, а длина основания равна 12 - 3 = 9 см.

3. Продолжим с третьей задачей. Нам нужно доказать, что AD = CE при условии, что на боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили точки D и E так, что ∠ACD = ∠CAE.

Посмотрим на треугольник ADC и треугольник AEC. Мы знаем, что у них есть общая сторона AC и одинаковый угол ∠ACD = ∠CAE. Нам нужно доказать, что другие стороны треугольников также равны.

Рассмотрим стороны AD и CE.

У нас есть три угла в треугольнике ABC: ∠ABC, ∠BAC и ∠ACB. Так как ABC - равнобедренный треугольник, то у него две равные стороны AB и BC. Это означает, что ∠ABC = ∠ACB.

Посмотрим на треугольники ADC и AEC. У них есть общие углы, ∠ACD = ∠CAE, и равные углы ∠ABC = ∠ACB. Из этого следует, что треугольники ADC и AEC подобны по теореме угол-угол-угол (УУУ).

Когда треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны. Так как AD и EC - соответствующие стороны, мы можем сделать вывод, что:

\(\frac{AD}{EC} = \frac{AC}{AC} = 1\)

Следовательно, AD = EC, что требовалось доказать.

4. Приступим к четвертой задаче. Нам нужно доказать, что ∠EMK = ∠FMK, если EK = FK и EC = FC (см. рисунок 43).

Из условия задачи видим, что EK = FK, а EC = FC. Заметим, что у нас есть равнобедренный треугольник EKC, где EC = FC. Также, по определению середины отрезка, точка M является серединой отрезка EK.

Следовательно, EM является высотой треугольника EKC, проходящей через его вершину M.

Мы знаем, что высота треугольника делит его основание на две равные части. Таким образом, EM = MK.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник FMK. У нас есть FK = EK и MK = EM. По двум сторонам и углу между ними можно утверждать, что треугольники FMK и EMK подобны по теореме сторона-угол-сторона (СУС).

Когда треугольники подобны, соответствующие углы равны. Таким образом, ∠EMK = ∠FMK, что и требовалось доказать.

5. Перейдем к пятой задаче. Нам нужно найти длину стороны AC треугольника ABC, если серединный перпендикуляр стороны AB пересекает его сторону AC в точке M, а BC = 8 см и периметр треугольника MBC равен.