Какова площадь поверхности сферы, описанной вокруг куба со стороной, равной квадратному корню

Валентина

28

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание формулы для площади поверхности сферы и формулы для площади поверхности куба. Давайте начнем с определения этих формул.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

\[S_s = 4 \pi r^2\],

где \(S_s\) - площадь поверхности сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Площадь поверхности куба равна шести квадратам его сторон. В данной задаче сторона куба равна квадратному корню из числа, из которого описана сфера. Поэтому площадь поверхности куба равна:

\[S_c = 6a^2\],

где \(S_c\) - площадь поверхности куба, а \(a\) - сторона куба.

Теперь нам нужно найти радиус сферы, описанной вокруг куба. Для этого мы можем воспользоваться формулой, связывающей сторону куба и радиус описанной сферы:

\[r = \frac{a}{2}\].

Теперь мы готовы вычислить площадь поверхности сферы. Подставляем найденное значение радиуса в формулу для площади поверхности сферы:

\[S_s = 4 \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2\].

Далее, разделим наше решение на подзадачи: вычисление значения радиуса, вычисление площади поверхности куба и вычисление площади поверхности сферы. Вот подробное шаговое решение:

Шаг 1: Найдем сторону куба. В задаче сказано, что сторона куба равна квадратному корню из числа, из которого описана сфера. Поэтому \(a = \sqrt{2}\).

Шаг 2: Вычислим радиус сферы. Используя формулу, связывающую сторону куба и радиус сферы, получим \(r = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Шаг 3: Вычислим площадь поверхности куба, используя формулу \(S_c = 6a^2\). Подставим \(a = \sqrt{2}\) и получим \(S_c = 6(\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\).

Шаг 4: Вычислим площадь поверхности сферы, используя формулу \(S_s = 4 \pi r^2\). Подставим \(r = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и получим \(S_s = 4 \pi \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 \pi \frac{2}{4} = 2 \pi\).

Таким образом, площадь поверхности сферы, описанной вокруг куба со стороной, равной квадратному корню из 2, равна \(2 \pi\).