1. Определите центр и радиус окружности, заданной уравнением (х + 5) + (у — 1) = 16. 2. Принадлежат ли точки (-1

Таинственный_Рыцарь

48

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1. Окружность задана уравнением \((x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16\). Чтобы определить центр и радиус окружности, нам нужно привести уравнение к стандартному виду \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a,b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус.

Раскроем квадраты:
\((x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16\)
\(x^2 + 10x + 25 + y^2 - 2y + 1 = 16\)

Сгруппируем переменные:
\(x^2 + y^2 + 10x - 2y + 26 = 16\)

Перенесем 16 на другую сторону:
\(x^2 + y^2 + 10x - 2y + 26 - 16 = 0\)

Упростим:
\(x^2 + y^2 + 10x - 2y + 10 = 0\)

Теперь перепишем уравнение в стандартном виде, выделив полные квадраты:
\((x^2 + 10x) + (y^2 - 2y) = -10\)
\((x^2 + 10x + 25) + (y^2 - 2y + 1) = -10 + 25 + 1\)

Продолжим упрощение:
\((x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 16\)

Таким образом, мы видим, что центр окружности \((-5, 1)\), а радиус равен \(\sqrt{16} = 4\).

2. Чтобы определить, принадлежат ли точки \((-1, 1)\) и \((3, 0)\) данной окружности, подставим их координаты в уравнение окружности:
Для точки \((-1, 1)\):
\((-1 + 5)^2 + (1 - 1)^2 = 16\)
\(4^2 + 0^2 = 16\)
\(16 + 0 = 16\)

Условие выполняется, значит точка \((-1, 1)\) лежит на данной окружности.

Для точки \((3, 0)\):
\((3 + 5)^2 + (0 - 1)^2 = 16\)
\(8^2 + (-1)^2 = 16\)
\(64 + 1 = 16\)

Условие не выполняется, значит точка \((3, 0)\) не лежит на данной окружности.

3. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку \((-5, y_0)\), мы должны определить её наклон \(k\) и точку пересечения с осью ординат.

Для этого мы воспользуемся формулой наклона прямой:
\[k = \dfrac{y - y_0}{x - x_0}\]

Подставим значения \((-5, y_0)\) и \((-5, 0)\) в формулу:
\[k = \dfrac{y - y_0}{x - (-5)} = \dfrac{y - y_0}{x + 5}\]

Теперь найдем точку пересечения с осью ординат. Учитывая, что \(x = 0\) в данной точке, получим:
\[k = \dfrac{y - y_0}{0 + 5}\]
\[k = \dfrac{y - y_0}{5}\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку \((-5, y_0)\), имеет вид \(y - y_0 = 5k(x + 5)\).